MATEMÁTICA E AS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO: junho 2012

quinta-feira, 28 de junho de 2012

Problemas e soluções - 18

Questão (Enade 2011): Em determindao período letivo, cada estudante de um curso universitário tem aulas com um de três professores, esses identificados pelas letras X, Y e Z. As quantidades de estudantes (homens e mulheres)que têm aulas com cada professor é apresentada na tabela de contingência abaixo.

$\begin{tabular}{l|l|l|l}Estudantes&Prof-X&Prof-Y&Prof-Z\\ \hline Homens&45&5&32\\Mulheres&67&2&4\end{tabular}$

A partir do grupo de estudantes desse curso universitário, escolhe-se um estudante ao acaso. Qual é a probabilidade de que esse estudante seja mulher, dado que ele tem aulas apenas com o professor X?

$a) \frac{61}{73}$ $b)\frac{61}{155}$ $c) \frac{67}{155}$ $d) \frac{22}{112}$ $e) \frac{67}{112}$

Solução: Considere os eventos: X ={ser aluno do Professor X}; Y={ser aluno do Professor Y}; Z={ser aluno do Professor Z}: H={ser estudante homem}; M={ser estudante mulher}.

Queremos, $P(M|X)$ , isto é, a probabilidade de ser mulher, sabendo que tem aulas somente com o Professor X.
Por definição,
$P(M|X)=\frac{P(M\capX)}{P(X)}=\frac{67}{112}$
Logo, a resposta é a alternativa e).
Lembrete: P(X)=45+67=112.

quinta-feira, 21 de junho de 2012

Fibonacci: Criação de coelhos e Computação

Leonardo de Pisa (1180-1250) mais conhecido como Fibonacci, comerciante italiano, ajudou a popularizar o algorismo no século XIII, através de um livro clássico intitulado Liber Abaci (Livro de Ábaco), onde trata muito mais de números que de geometria. Entre os vários problemas citados, o que mais despertou a atenção dos pesquisadores foi o seguinte: Um criador de coelhos, em sua criação, depara-se com a situação- começa só com um, e cada coelho gera um coelho quando completa dois meses de idade, e a seguir gera um coelho a cada mês. Os coelhos não morrem e ignoramos os machos. Se começar com um coelho recém-nascido, após n meses, quantos coelhos terá o fazendeiro?

Para valores pequenos de n a resposta é:

$\begin{tabular}{lll}n-número de meses&número de coelhos\\1&1\\2&1\\3&1+1=2\\4&2+1=3\\5&3+1+1=5\\6&5+1+1+1=8\\7&8+1+1+1+1+1=13\end{tabular}$

E a tabela continua. Note que para obter o número de coelhos no próximo mês, adicionamos o número de coelhos do mês anterior mais os gerados no mês corrente. Assim podemos escrever a sequência de números de coelhos em cada mês como: 1,1,2,3,5,8,13,21,55,89,144,.... Leonardo de Pisa foi sem dúvida o Matemático mais capaz do mundo cristão medieval, razão pela qual muito de sua obra era avançado em demasiado para entendimento dos contemporâneos.

Para descrever a solução do problema através de uma fórmula, colocamos $F_n$ como o número de coelhos durante o n-ésimo mês, e para n=3,4,5,... temos $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

com $F_1=1,F_2=1$ o que é uma relação de recorrência numérica.

Citamos aqui duas identidades envolvendo os números de Fibonacci que são mais utilizadas:

A primeira é:

$F_1+F_2+F_3+...+F_n=F_{n+2}-1$

A segunda expressa $F_n$ como uma função de n, a saber:

$\ F_n=& \frac{1}{\sqrt{5}};\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n- \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$

Constata-se que a proporção entre números de Fibonacci consecutivos é aproximadamente 1,618 , isto é, para n grande a sequência de Fibonacci se comporta como uma grande progressão geométrica de razão 1,618, chamada de razão dourada.

Concluímos afirmando que a sequência de Fibonacci descreve uma vasta diversidade de fenômenos naturais, além de servir como fundamento para uma gama de algoritmos usados extensivamente em Ciências da Computação, como por exemplo, em processamento de textos, ordenação de estrutura de dados, engenharia de sofware, testes de programas.

Fonte:

1) História da Matemática; Carl Boyer

2) Fibonacci Number and computer algorithms; John Atkins; Robert Geist- West Virginia University

quarta-feira, 20 de junho de 2012

Problemas e soluções - 17

Questão (Enade 2011): A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula:

$y(t)=\dfrac{10t}{(t+1)^2}, t\geq0$

Em qual intervalo essa função é crescente?

$a)t\geq0$               b) $t>0$         $c)t>1$       $d)0 \leq t\leq1$              $e) \frac{1}{2}<t<10$

Solução:
                          $y'(t)=\dfrac{10(t+1)^2-20t(t+1)}{(t+1)^4}=\dfrac{-10(t^2-1)}{(t+1)^4}$
Logo,
                     $y'(t)>0\leftrightarrow\dfrac{-10(t^2-1)}{(t+1)^4}>0\rightarrow \ t^2-1<0\rightarrow-1<t<1$
Assim, d) é a resposta correta.

Lembrete:

$1)\left(\dfrac{f(t)}{g(t)}\right)'=\dfrac{f'(t)g(t)-f(t)g'(t)}{\ g^2(t)}$

2)y=f(t) crescente em $a<t<b$    se   $f'(t)>0$ .

domingo, 17 de junho de 2012

Problemas e soluções - 16

Questão (Poscomp 2011): Com base em $f(x,y,z)=x^2e^y+2xz$ , uma função real de três variáveis reais, considere as afirmativas a seguir.

I. O ponto $P_0=(1,0,1)$ é um ponto crítico de f.

II. A função f é contínua no ponto $P_0=(1,0,1)$ .

III. A direção unitária em que f cresce mais rapidamente no ponto $P_0=(1,0,1)$ é $\dfrac{2\overrightarrow{\imath}}{\sqrt13}+\dfrac{3\overrightarrow{\jmath}}{\sqrt13}$

IV. O vetor gradiente de f no ponto $P_0$ é nulo se e somente se, $P_0=(0,0,0)$

Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas I e II são corretas.

b) Somente as afirmativas I e III são corretas.

c) Somente as afirmativas II e IV são corretas.

d) Somente as alternativas I, II e IV são corretas.

e) Somente as alternativas II, III e IV são corretas.

Solução: $f_x=2xe^y$ ; $f_y=x^2e^y+2z$ e $f_z=2y.$

Temos $f_x=0;f_y=0;f_z=0$ se e só se x=y=z=0;

$f_x(1,0,1)=2; f_y(1,0,1)=3; f_z(1,0,1)=0$

logo

$\nabla f(1,0,1)=(2,3,0) ; \| \nabla f(1,0,1)\|=\sqrt13$

f é contínua em todo $\mathbb{R}^3$ e

$\dfrac{\nabla f(1,0,1)}{\| \nabla f(1,0,1)\|}=\frac{2\overrightarrow{\imath}}{\sqrt13}+\frac{3\overrightarrow{\jmath}}{\sqrt13}$

Assim, I é falsa; II, III e IV são verdadeiras, portanto item e).

quarta-feira, 13 de junho de 2012

Problemas e soluções - 15

Questão (Poscomp 2011): O problema de determinar um vetor normal a um triângulo ou polígono é muito comum em computação gráfica. Dado o triângulo formado pelos pontos A(1,2,3), B(3,2,1) e C(1,1,1), um vetor normal, n a esse triângulo é dado por:

$a)n={[-2,4,-2]}^T$