segunda-feira, 28 de maio de 2012

Problemas e soluções -13

Questão (Mantenedores): Um vírus de computador se prolifera através de mensagens de correio eletrônico (e-mail) e é colocado em 3 máquinas no primeiro dia. Cada dia cada computador infectado no dia anterior, contamina 5 novas máquinas. No segundo dia, é desenvolvido um programa para destruir o vírus e limpa-se 1 computador. Cada dia após esse, são limpos 10 vezes mais computadores do que foram limpos no dia anterior. Até que os efeitos do vírus estarem completamente eliminados, vão se passar em número de dias:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 10

Solução: De acordo com as informações, podemos montar o quadro



Onde V é a sequência diária de máquinas contaminadas e L a de máquinas limpas.


No sexto dia, o número de máquinas limpas é maior do que as infectadas, mas não o suficiente para limpar todas. Isto ocorrerá durante o sétimo dia. Assim, a resposta é c).



quinta-feira, 24 de maio de 2012

Problemas e soluções - 12

Questão (Mantenedores): A, B, C e D são nós em uma rede de computadores. Existem dois caminhos entre A e C, dois entre B e D, três entre A e B e quatro entre C e D. O número de rotas diferentes na qual é possível enviar uma mensagem de A para D é:
 a) 6              b) 8              c) 10              d) 12              e) 14

Solução: Considere o cenário

D
                                                        A                              C
B

desenhe o grafo de acordo com a orientação colocada, escreva as rotas possíveis para ir do nó A ao nó D, executando um processo de contagem, encontramos 14 possibilidades, conduzindo ao item e)


segunda-feira, 21 de maio de 2012

Problemas e soluções - 11

Questão (Mantenedores): Considere as afirmações:

I.
II.
III.

Com relação a função dada por  . Assinale a opção correta:
a) I é falsa;
b) II é verdadeira e III falsa;
c) II e III são falsas;
d) II e III são verdadeiras;
e) I é verdadeira e III falsa.

Solução:
 . Logo   

Temos também,    e        . Assim

De forma que d) é o item correto.

Lembrete:  , onde .

quarta-feira, 16 de maio de 2012

Uma reflexão sobre o ensino da matemática




A matemática, da forma que é ensinada hoje nas escolas não desperta o interesse da maioria dos alunos pela simples razão de que o que se ensina não são ideias. É ensinada uma série de habilidades para resolver problemas práticos e dicas para passar nas provas de vestibulares, ou seja, um treinamento. Estes são memorizados sem uma real apreciação dos conceitos e de um perfeito entendimento. São premiados o conhecimento bruto, memorização e a velocidade, no lugar das ideias e dos significados.

Para se aprender Matemática – no sentido estrito-que deva possibilitar sua efetiva apreciação, como sendo uma coleção de raciocínio, de forma a entender o que existe, desprezar o que é irrelevante, e extrair daí um novo resultado consistente e significativo na vida do cidadão.

Durante nossa passagem como professores, trabalhando no ensino da Matemática, do fundamental ao universitário, temos observado diversos problemas relacionados com os agentes, -  alunos, professores e diretores-, vinculados ao ensino de matemática, os quais citamos a seguir:

Quanto aos professores:


Falta interesse em preparar sua aula de forma adequada; falta objetividade na exposição de conteúdos tais como: número áureo, crivo de Erastóstenes, triângulo de Pascal, números primos de ordem elevada (Fermat) probabilidade e estatística (estudo superficial e mal feito, pois não passa das medidas de posição) , diversos tipos de equações da reta e circunferência, as “2012” fórmulas da trigonometria (precisamos de duas) e números complexos sem os alunos trabalhar com segurança os números reais; o excessivo número de aulas em detrimento da qualidade; não se reciclar, isto é, não participa de seminários, palestras e programas de pós-graduação de sua área; se fixar em um só nível fundamental-médio ; o não compromisso com o país.

Quanto aos alunos:

Uma boa parte vai a aula como obrigação (em geral para adquirir um diploma, e não com o objetivo de adquirir conhecimento); alguns usam o celular, notebook, lançam bola de papel entre outras ações não compatíveis com o ambiente de aprendizagem (falta a educação doméstica).

Quanto aos diretores:

Péssimas condições das salas de aulas, salas com mais de 50 alunos; a má divisão do conteúdo matemático e de outras matérias, faz com que o aluno tenha 15, 16, 17 e até 18 disciplinas com 150 aulas (45 minutos) mensais de sala de aula, isto começando no oitavo ano do fundamental; alguns só tem interesse com o pagamento das mensalidades, quando diretor de escola particular. Já os de escolas públicas vivem ás voltas com políticos, além de serem obrigados a exigir dos professores a não reprovação dos alunos, sob pena de não receberem verbas e perderem o cargo, caso haja reprovação.

Como consequência disto, distribuir computadores para os alunos como forma de melhorar o ensino, não é a solução. Na China, atualmente o país que mais cresce economicamente, e que tem as melhores colocações em eventos (competições) mundiais em matemática, não precisou distribuir computadores para seus alunos e nem os professores ganham uma fortuna, mas os alunos, professores e diretores tem compromisso com o seu país. O insucesso em Matemática não depende exclusivamente das características da disciplina nem das concepções dominantes acerca da sua aprendizagem. Urge renovar profundamente a escola, de forma a que esta se torne um espaço motivante de trabalho e de crescimento pessoal. Isso pressupõe, eventualmente, uma intervenção aos mais diversos níveis, incluindo as práticas pedagógicas, o currículo, o sistema educativo e a própria sociedade em geral, além de um estudo a ser realizado por pessoas, que de fato estejam em sala de aula, e comprometido com o ensino, sem a participação dos que vivem em gabinetes em Brasília, nos governos estaduais e municipais.Tendo como foco, um conteúdo de matemática único, aplicado e dosado para o fundamental e médio para todo o país, liberando aqueles colégios que quiserem ultrapassar este conteúdo, e que seja obedecido o que está escrito nos PCN´s e DCEM. Teria sentido este conteúdo único em função da prova do Enem que mais cedo ou mais tarde funcionará como instrumento único para o aluno alcançar a Universidade e assim evitaríamos discussões do tipo regionalista. Sugerimos também, convocar para este processo a SBM – Sociedade Brasileira de Matemática, que poderá abrir um fórum em sua revista do professor de Matemática, que congrega os professores de matemática, espalhado por todo o Brasil.







terça-feira, 15 de maio de 2012

Problemas e soluções - 10

Questão (Poscomp 2011): O valor de ;pertencente ao primeiro quadrante, para a expressão
2+2cos x + 2 cos x cos x + 2 cos x cos x cos x + 2 cos x cos x cos x cos x + ...= 4 é:

a) 0
b)

c)

d)

e)

Solução: A equação em x pode ser escrita como

2cos x + 2 cos x cos x + 2 cos x cos x cos x + 2 cos x cos x cos x cos x + ...= 4 -2=2

E esta da forma


O lado esquerdo da igualdade é uma PG de razão cos x, () e primeiro termo
 cos x. Assim, a igualdade escreve-se da forma:


Logo, a resposta é o item c).

Lembrete:
1) , não é solução pois cos x = 1 ou cos x = -1

2)  




sexta-feira, 11 de maio de 2012

Problemas e soluções - 09

Questão (Mantenedores): Chamamos de custo operacional associado a um sistema linear com n equações e n incógnitas, o número de multiplicações e divisões necessárias para encontrar a solução, usando um método de resolução. Este custo, usando a regra de Cramer,  é aproximadamente

(n+1)! (e-1) + n

onde   e com o escalonamento é de


Para um sistema com 10 equações e 10 incógnitas submetido a um computador que efetua   multiplicações ou divisões por segundo, usando o método de Cramer e depois o escalonamento, gastará, respectivamente, em segundos (use 11!=39.916.800):

a) 68 e 10
b) 6,8 e 1
c) 68 e 0,8 x
d) 6 x 100
e) 100 x 6

Solução:

Custo operacional Cramer
(10+1)! (2,71828-1) + 10 = 68.588.249

Escalonamento

Tempo de processamento em segundos

Cramer:
 

Escalonamento:
Assim, o item c) é a resposta.

Lembrete: Se uma máquina processa n operações por segundo, para processar x operações, necessita de    segundos .

quinta-feira, 3 de maio de 2012

Busca: Sequencial x binária

          É comum medir a eficiência de um algoritmo, através do número de passos que uma máquina precisa dar para executá-lo. Dois algoritmos construídos para executar uma mesma tarefa, podem apresentar diferenças significativas, como exemplificaremos a seguir.
          O Minidicionário Aurélio da Lingua Portuguesa, editado em fevereiro de 1985, tem aproximadamente 25.000 palavras. Uma maneira de procurar uma palavra neste dicionário, ou concluir que ela não se faz presente, é ler o dicionário palavra por palavra da página inicial em direção à final, até encontrá-la, ou notar que ela não se faz presente. Este método não usa a ordem alfabética em que as palavras são colocadas, e é conhecido como busca sequencial. Você sempre terá resposta à sua pergunta, mas isso pode exigir do algoritmo 25.000 passos.
          Uma outra maneira de executar a mesma tarefa é ir direto ao meio da lista de palavras, se necessário subtraia algumas. Se não achar a palavra, vá para o meio da metade que a contém e elimine a outra metade (lembre que o dicionário é ordenado alfabeticamente). Este algoritmo já no passo inicial, elimina aproximadamente 12.500 palavras. A partir daí, prossiga com esta lógica, isto é, vá na metade que contém a palavra, e divida novamente ao meio, e se não encontrar continue com este procedimento tantas vezes, até que nenhuma palavra tenha sobrado. Para o caso, com no máximo 15 divisões, temos a resposta, pois


o que ganha das 26 mil tentativas. Este método que acabamos de descrever é conhecido como busca binária.

          Generalizando, suponhamos uma lista de tamanho n e k o número de divisões necessárias para convergir a lista para uma única palavra. Temos,

                               portanto   

          Assim,   , isto é, o menor inteiro maior que  . Logo uma busca sequencial é de ordem n , e a binária de ordem  , e n cresce mais rapidamente que   ; como já indicava o exemplo.