Recado da Álgebra Linear

                Uma consequência do famoso teorema do núcleo e da imagem é assim enunciado: Sejam  V e W espaços vetoriais tais que dim V = dim W = n. Uma transformação

T: V →  W

É injetora se, e somente se, é sobrejetora (isomorfismo). Este resultado pode não ser verdadeiro para espaços vetoriais de dimensão infinita. Veja os exemplos V=W = ℝ^¥ é o conjunto de todas as sequências numéricas (x₁,x₂,x₃,...) munido das operações de soma e produto por escalar naturais.

Primeiro: T : ℝ^¥  →  ℝ^¥ definida por   T(x₁,x₂,x₃,...) = (0,x₁,x₂,x₃,...)é linear e injetora e não é sobrejetora pois (1,0,0,0,...)Î núcleo (T) e não a imagem;

Segundo: Defina T da forma T(x₁,x₂,x₃,...) = (x₂,x₃,x₄,...) é linear  sobrejetora, mas não injetora, já que T(0,0,0...)=(0,0,0,...) e T(1,0,0,0,...) = (0,0,0,0,...).

Fonte: Hoffman; Kennety and Kunze, Ray; Álgebra Linear

A Álgebra Linear e seu CPF

                O seu CPF é composto de 11 números sendo os dois últimos o chamado controle ou dígito de verificação. Vamos aqui explicar através de um exemplo como encontrar estes dígitos de controle. O meu CPF é 512769928-15.

                Primeiro (1):

Com o CPF  gere o vetor u =(5,1,2,7,6,9,9,2,8) e considere o vetor v = (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Faça u.v = 5x1+1x2+2x3+7x4+6x5+9x6+9x7+2x8+8x9 = 276. Agora divida este valor por 11 e observe o resto, ou seja, 276:11 tem resto 1 que é o primeiro dígito verificador;

                Segundo (5):

Gere o vetor u acrescentando o primeiro dígito encontrado, no caso 1. Temos,

u = (5,1,2,7,6,9,9,2,8,1) e considere v = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Faça u.v = 5x0+1x1+2x2+7x3+6x4+9x5+9x6+2x7+8x8+1x9. Dividindo este valor por 11, obtemos resto 5, que é o segundo dígito verificador.

Desafio: faça o mesmo com o seu CPF.

Generalizando:

CPF: n₁n₂n₃n₄n₅n₆n₇n₈n₉d₁d₂

Primeiro (d₁):

Forme os vetores u = (n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6,n_7,n_8,n₉) e v =(1,2,3,4,5,6,7,8,9). Calcule

u.v =1x n₁  + 2 x n₂ +3 x n₃ +4 x n₄ +5 x n₅ +6 x n₆ +7 x n₇ +8 x n₈ +9 x n_9. Logo d₁ = u.v mod 11 onde u.v é o valor numérico obtido.

                Segundo (d₂):

Forme os vetores: u = (n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6,n_7,n_8,n_9,d₁) e v = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e calcule

u.v =0x n₁  + 1 x n₂ +2 x n₃ +3 x n₄ +4 x n₅ +5 x n₆ +6 x n₇ +7 x n₈ +8 x n₉+ 9 x d₁ e                       d₂ = u.v mod 11.

A Linguagem Matemática no Tempo

                Até o século  XVI, expressões matemáticas eram escritas de forma excessivamente verbal ou retórica. Por exemplo, em 1591, VIÉTE, para representar a equação,5 A²+9 A-5=0 escrevia em bom latim: “5 in A quad et 9 in A planu minus 5 acquatur 0”.

                Já o símbolo +, uma explicação razoável é que até então, a adição de dois números, por exemplo, 2+5, era representado por ”2 et 5”. Com o passar dos anos, a conjunção latina “et” foi sincopada para t, do qual se originou, no fim do século XV, o sinal +. 

De D’Alembert à Wikipédia

De D’Alembert à Wikipédia

                No século XVIII os franceses, o escritor Denis Diderot e o matemático D’Alembert resolveram organizar todo o conhecimento mundial até o momento em apenas um lugar, permitindo assim que uma pessoa que soubesse ler, tivesse acesso aos conhecimentos científico, cultural e filosófico produzidos até o momento da criação. A Enciclopédia foi criada e continha mais de 70.000 verbetes que abrangiam todas as áreas do conhecimento da época, além de artigos sobre o iluminismo e outras ideias liberais, fazendo com que a Igreja Católica que na época coordenava o pensamento livre, o rejeitasse.

                Esse trabalho inspirou a Independência dos Estados Unidos em 1776 e a Revolução Francesa em 1789, fornecendo bases teóricas para estes eventos.

                Esta primeira Enciclopédia tinha 28 volumes (17 de textos e 11 de imagens) e no século XVIII as impressões eram precárias. Com a evolução da tecnologia da impressão ao longo do tempo, chegamos a enciclopédia digital a WIKIPEDIA.

Carnaval e Semana Santa

                Por que o Carnaval e a Semana Santa mudam ano a ano, diferentemente do Natal?

                No início, a maioria dos cristãos celebrava sua Páscoa uma semana após a dos judeus, que é conhecida como Festa da Libertação do povo judeu do Antigo Egito. Isto ocorreu de acordo com o calendário judaico, no Oriente Médio, na estação do ano, primavera sendo que a partir daí os judeus deixaram de ser escravos. Os judeus passaram a comemorar sua Páscoa na primeira lua cheia do equinócio da primavera (outono no hemisfério sul). Já a Páscoa cristã a partir do ano 325 após o Concílio de Niceia, passou a ser comemorada no primeiro domingo de lua cheia depois do equinócio de primavera. A partir daí é só caminhar no calendário: Domingo de Ramos é uma semana antes da Páscoa, a Quarta-feira de Cinzas é 40 dias antes do domingo de Ramos (Quaresma) e um dia antes é Terça-feira de Carnaval.

                Terminamos com duas informações:

Primeira – A palavra equinócio, elemento da Astronomia, vem do latim AEQUUS (igual) e NOX (noite) e significa noites iguais, ocasiões em que o dia e a noite duram o mesmo tempo;

Segunda – Para você programar seus passeios até 2020, vai a informação ano a ano de que dia de Abril vai ser a Páscoa cristã: 2017 no dia 16; 2018 dia 01; 2019 dia 21 e em 2020 dia 12, de acordo com a Astronomia. 

As Equações Diferenciais ao Longo do Tempo

                O desenvolvimento das equações diferenciais (E.D.) ordinárias e parciais está entrelaçado com o da Matemática. Vamos traçar um perfil histórico deste desenvolvimento e os personagens principais.

                Tudo começou com o inglês Isaac Newton (1642-1727) com suas descobertas no Cálculo (derivada) e das leis fundamentais da Mecânica publicadas em 1687 no livro Philosophia Naturalis Principia Mathematica, e com Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que chegou aos mesmos resultados de Newton no Cálculo de forma independente após Newton, mais foi o primeiro a publicá-los em 1684 na  Acta  Eruditorium  espécie de periódico científico da época. Newton classificou as E.D. ordinárias de primeira ordem em três grupos:  as que se escrevem nas formas

   e  onde .

Para as da forma  quando é um polinômio nas variáveis x e y, Newton desenvolveu um método de como resolver a E.D. via séries infinitas. Já Leibniz descobriu o método de separação de variáveis em 1691, a redução de equações homogêneas em separáveis e em 1694 o procedimento de como resolver uma E.D. ordinária de ordem linear.

                Johannn Bernoulli (1667-1748) e seu irmão Jakob (1654-1705) contribuíram no desenvolvimento de resolução de E.D. e ampliaram o campo de aplicação em Mecânica. Em 1694 Johannn Bernoulli resolveu a equação , para constante sendo que, na época não tinha ainda a informação que . 

Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johannn Bernoulli, com interesse nas E.D. parciais e suas aplicações tem seu nome associado à conhecida equação de Bernoulli da Mecânica dos fluidos e foi o primeiro a encontrar as funções que hoje são conhecidas como funções de Bessel.

                Leonhard Euler (1707-1783) aluno de Johannn Bernoulli e parceiro de Daniel Bernoulli foi considerado o maior matemático do século XVIII. Tem contribuição em quase todas as áreas da Matemática; identificou a condição de exatidão das E.D. ordinárias de primeira ordem, contribuiu para a teoria dos fatores integrantes, apresentou a solução geral das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, trabalhou com as equações não homogêneas, usou séries de potências para resolver E.D. ordinárias, além de propor um método numérico para um problema de valor inicial de primeira ordem e contribuições no estudo das E.D. Parciais.

                Avançando um pouco mais no tempo, nos deparamos com Joseph Louis Lagrange (1736-1813) que obteve fama com a obra Mécanique Analytique publicada em 1788, e quanto às E.D. mostrou que a solução de uma E.D. ordinária linear de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes, publicou o desenvolvimento completo do método da variação dos parâmetros e fez um tratamento fundamental nas E.D. Parciais.

No período de 1749 á 1827, viveu Pierre Simon de Laplace que marcou sua presença com a conhecida equação de Laplace e com as transformadas de Laplace útil para encontrar a solução de E.D. Ordinárias. No final do século XVIII outros métodos elementares para resolver E.D. Ordinárias foram descobertas. Já no século XIX o interesse voltou-se para as questões da existência e unicidade de Problema de Valor Inicial e para métodos baseados em séries de potências, surgindo várias funções soluções de E.D., tais como a de Bessel, Chebyshev, Legendre, Hermite e Hankel. Neste período, as equações que não se resolviam por meios analíticos, levaram a aprimorar e elaborar métodos numéricos para descrever a solução de forma aproximada. A partir daí, o interesse voltou-se a compreensão qualitativa do comportamento das soluções do ponto de vista geométrico e o uso de procedimentos numéricos de E.D. e sistemas, não lineares.

Fontes:

1.       Boyce, William; Diprima, Richard: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno; Editora LTC

2.       Boyer, Carl B.; História da Matemática; Editora Edgard Blucher LTDA.

A Álgebra Linear na Graduação

Álgebra Linear é um segmento da Matemática que teve sua origem na discussão de Sistemas Lineares Algébricos e Diferenciais. Como tópicos principais abordados em graduação, citamos os espaços vetoriais (morada de vetores) e suas propriedades, as transformações lineares entre espaços vetoriais com destaque para os operadores (transformações lineares de um espaço nele mesmo), além dos autovalores e auto vetores bem como a diagonalização de operadores. Na sequência, escrevemos os resultados principais: O Espaço ℝⁿ, Combinação linear e independência linear entre vetores, bases, ortogonalidade no ℝⁿ, bases ortogonais e o algoritmo de GRAM-SCHMIDT, transformações lineares e suas propriedades, coordenadas e mudança de base, autovalores e auto vetores, diagonalização de operadores e equações diferenciais ordinárias lineares.

Quanto sua aplicação, além da forte contribuição para a solução exata de equações diferenciais ordinárias lineares e em processos aleatórios (Cadeias de Markov), temos também sua presença na Física, em Ótica e Mecânica Quântica, na Engenharia no estudo de vibrações e em Dinâmica de corpos rígidos ligados a problema de rotação e translação, fazendo-se também presente no problema de temperatura em estado estacionário em uma placa fina com faces isoladas. Para encerrar lembramos também a Criptografia, Computação gráfica e o modelo presa-predador como usuários da Álgebra Linear. Mais detalhes podem ser vistos em LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS; GILBERT STRANG; ACADEMIC PRESS. 1980