Equações Diferenciais: Evolução Histórica

O desenvolvimento das Equações Diferenciais (E.D.) está entrelaçado com o da Matemática e da Tecnologia. Vamos descrever na ordem cronológica os principais responsáveis por este ramo da Matemática.

Tudo começou com Newton (1642-1727) e  Leibniz (1646-1716) com suas descobertas no Cálculo e das leis fundamentais da Mecânica. Newton classificou as E.D. ordinárias de primeira ordem de acordo com as formas:

e para esta mais geral, desenvolveu um método de resolução através de séries infinitas para o caso de f(x,y) ser um polinômio nas variáveis x e y. Já Leibniz descobriu o método da separação de variáveis, a redução de equações homogêneas em separáveis, e o procedimento para resolver as E.D. lineares de primeira ordem.

                Os irmãos Jacob (1654-1705) e Johann (1667-1748) Bernoulli fizeram muitas contribuições de resolução de E.D. além de ampliar as aplicações deste ramo da Matemática em problemas da Mecânica. Daniel Bernoulli (1700-1782) tem contribuições nas E.D. parciais e suas respectivas aplicações, e tem seu nome associado a conhecida equação de Bernoulli da Mecânica dos Fluidos, e foi o primeiro a encontrar as famosas funções de Bessel.  Euler (1707-1783) identificou a condição de exatidão das E.D. de primeira ordem, desenvolveu a teoria dos fatores de integração, apresentou a solução geral das equações lineares com coeficientes constantes, passou a usar séries de potências para resolver E.D. e propôs um procedimento numérico Para encontrar uma solução aproximada para problemas de valor inicial de primeira ordem.

                Já  Lagrange (1736-1813) autor da obra Mécanique Analytique, mostrou que a solução de uma E.D. homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes, fez o desenvolvimento completo do método da variação de parâmetros e um tratado fundamental nas E.D. parciais. Laplace (1749-1827) foi responsável pela chamada equação de Laplace e da transformada integral que leva seu nome, usada mais tarde na resolução de E.D..

                No fim do Século XVIII vários outros métodos elementares para a solução de E.D. ordinárias foram descobertas. No Século XIX, o interesse voltou-se para as questões teóricas voltadas à existência e unicidade de solução, e o desenvolvimento de métodos menos elementares, como os baseados em expansões em séries de potências. As E.D. parciais começaram a ganhar força devido ao seu papel para a Física Matemática. Surge também as funções de Hermite, Legendre, Bessel e outras como soluções de E.D. ordinárias, bem como métodos numéricos bem eficientes para a determinação de solução aproximada, o que ganhou força com o avanço do desenvolvimento dos computadores. Ainda no Século XX, foi criado métodos geométricos ou topológicos com o intuito de compreender qualitativamente o comportamento das soluções especialmente das equações não lineares.

                Nos últimos anos houve uma convergência dos métodos citados anteriormente, proporcionando um novo impulso a este estudo surgindo conceitos como atratores estranhos, caos e fractais. Ressalta-se também o avanço do sistema computacional proporcionando a solução aproximada com muita precisão através de métodos numéricos de muitas equações não lineares.

Fonte:

1.       História da Matemática; Carl B. Boyer

2.       Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno; William E. Boyce e Richard C. DiPrima