Curiosidade – 4

                As calorias citadas nas embalagens de alimentos são, na verdade, quilocalorias ou unidades de 1000 calorias. Uma quilocaloria é 1000 vezes maior do que a caloria usada na Química e na Física. Uma caloria é a quantidade de energia necessária para elevar em 1 grau centígrado a temperatura de 1 grama de água. Se queimarmos 3500 calorias durante um exercício, teremos queimado ou perdido cerca de 500 gramas. Contudo, mesmo os exercícios mais rigorosos raramente queimam mais de 1000 calorias por hora.

Fonte: As 100 Maiores Descobertas Científicas de Todos os Tempos; Haven, Kendall

Curiosidade – 3

                Popeye, aquele marinheiro do desenho animado, usa espinafre para dar energia aos seus músculos. Os cientistas estão considerando o espinafre como fonte fornecedora de energia. Substâncias químicas extraídas do espinafre, estão  entre os ingredientes necessários para desenvolver uma célula solar que converte luz em eletricidade.

Fonte: As 100 Maiores Descobertas Científicas de Todos os Tempos; Haven, Kendall

Somando Números Naturais

Somando Números Naturais

Nestas notas veremos como calcular as seguintes somas finitas

e vamos responder a seguinte questão: quem é maior,

 1. Somando  Progressões Aritméticas

A soma(1) é bastante conhecida. Trata-se de uma progressão aritmética(pa) com n parcelas, cujo primeiro termo é igual a 1 e último termo n. Se usarmos a fórmula da soma de uma pa, encontramos : 

Este procedimento já não se aplica a soma S₂, pois não se trata de uma pa, como é simples verificar. Faremos uma demonstração de (4) de maneira que a técnica utilizada se aplique no cálculo das somas (2) e (3).

Inicialmente, calculamos ( n + 1) ². Temos:

A seguir, usando a caracterização (5), calculamos n², (n-1)², etc., até 2² . Obtemos a seguinte tabela:

Observe que em (6) existem exatamente, $n$ linhas. Vamos somar, conjuntamente, essas $n$ linhas. Atente para o fato de que $n^2$ na primeira linha, vai ser cancelado com o termo n² da segunda linha, o termo (n-1)² na segunda linha vai ser cancelado com o termo (n-1)²  na terceira linha, e assim por diante, resultando ,

Daí, resulta:

ou seja:

Portanto :

2.Soma dos Quadrados dos n Primeiros Naturais

Agora, imitando os procedimentos da seção anterior, vamos calcular

Inicialmente desenvolvemos o binômio ( n+1)³

Em seguida desenvolvemos,n³,(n-1)³, etc., até 2³, obtendo a seguinte tabela:

Tudo se passa como na seção anterior. Somamos as n linhas de cada tabela (8), e encontramos :

Agora, usando a expressão para S₁, dada em (7), segue, da expressão acima, que

Portanto

3.Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais

Bem, chegou a hora de calcular a soma

A fim de calcular esta soma, repetimos os procedimentos anteriores começando pelo desenvolvimento binomial (n+1)⁴. Lembre-se,

Os passos, são cópias do que foi feito nas seções anteriores. Deixamos a cargo do leitor o complemento da prova, até como desafio ao grau de aprendizagem de cada um. Apenas indicamos que :

Agora, estamos em condições de responder a questão proposta no início do artigo: quem é maior :

A verdade é que,

pois,

isto é,ocorre a igualdade.

Autor :
- Nelson Nery de Oliveira Castro
- Departamento de Matemática/CCEN- UFPB, nnocastro@uol.br

Pesquisa: Custo ou Investimento?

                De tempos em tempos a mídia e cidadãos questionam os altos recursos alocados a pesquisa, principalmente na área da Física de Altas Energias, alegando que o retorno a sociedade é pequeno. Vamos a dois fatos citados pelo Professor Doutor Alberto Santoro-UERJ.

Primeiro:

                Os Físicos do CERN sempre tiveram necessidade de muita computação em seus trabalhos. Em 1960 liderados por Tim Berne Lee, inventaram o World  Wide Web (www) devido às necessidades, dos Físicos de Altas Energias, de comunicação rápida de seus dados e resultados obtidos. Esta invenção deu um retorno à sociedade incalculável, já que revolucionou entre outras, o comércio, a indústria, relações  pessoais , o estudo e a forma de se informar.

Segundo:

                Ainda na área de Altas Energias, um setor beneficiado que influencia diretamente a Sociedade é a Saúde. Graças às pesquisas em Alta Energia, é possível diagnósticos de doenças como o câncer e sua terapia  via aceleradores de partículas. O Positron Emission Tomograph (PET), aumenta consideravelmente a capacidade de decisão com relação a existência ou não de um câncer de mama, evitando cirurgias desnecessárias.

                Apenas estes dois exemplos, no meu ponto de vista são suficientes para afirmar que, alocar recursos na pesquisa é um investimento para o bem de nossa sociedade.

Fonte: Revista Carta Capital na Escola, artigo Alberto Santoro - UERJ

Curiosidade - 2

                Como os Físicos não tem obrigação de provar, com rigor, afirmações matemáticas e, como vivem examinando fenômenos muito complexos, eles às vezes fazem descobertas matemáticas antes dos Matemáticos. E aí os Matemáticos entram em cena para provar as afirmações matemáticas que os Físicos descobriram na natureza. Muitas vezes, na busca desse tipo de prova, os Matemáticos fazem descobertas de cunho puramente matemático.