A evolução do limite matemático no tempo - 1

A ideia de limite já se fazia presente no axioma de Arquimedes que formava a base do método de exaustão dos gregos, o qual afirmava: “Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente subtrair-se não menos que a metade, e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie”. Por volta de 1671, Newton novamente usou a ideia de limite em seu Cálculo dos infinitésimos no estudo dos movimentos. Em 1821 Cauchy deu ao Cálculo elementar a forma que tem hoje, dando um caráter algébrico mais preciso, colocando uma definição relativamente precisa de limite, a saber: “quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a finalmente diferir deste de tão pouco quanto se queira, esse último chama-se o limite de todos os outros”, publicado em “Cours d’ Analyse de L’École Polytechnique”.

Heine, em 1872 influenciado por Weierstrass, definiu o limite da função f(x) em , como segue:

“Se dado qualquer existe um    tal que para 0 < n < a diferença é menor em valor absoluto que então L é o limite de f(x) em  ". 

Nessa definição fria e precisa, estão presentes os números reais, as operações de adição e subtração, e a relação menor que. Este simbolismo de Weierstrass e Heine marca a chegada do rigor matemático dessa ideia. Hoje o n de Weierstrass é frequentemente substituído pela letra grega (delta), e é conhecido como provas por épsilons e deltas.

Ressaltamos aqui que, este conceito é uma ponte entre a álgebra e a trigonometria com o Cálculo diferencial, além de ser a pedra fundamental onde se apoia a taxa de variação. Esta formalização de Heine resolve o problema da palavra proximidade que é um incômodo na definição intuitiva, pois, um engenheiro pode considerar uma medida boa para seus propósitos, quando estiver a m do objetivo, já um maratonista considera próximo de sua meta quando estiver a 100 m do ponto final.

A definição dos e abrange estas e outras situações de proximidade. Lembramos também que, este conceito é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do Cálculo estão baseados.

Para concluir, lembramos que para encontrar algebricamente limite de funções, no caso da reta, inclusive limites infinitos e no infinito   pode-se adotar a seguinte estratégia:

Primeiro passo: Estabelecer limites de algumas funções elementares (simples) através de sua continuidade, e quando for o caso reconhecer o comportamento assintótico e os limites no infinito;

Segundo passo: Estabelecer resultados teóricos para lidar com funções oriundas das elementares através das operações entre funções.

Fonte:

1) Boyer, Carl B. História da Matemática. Editora da USP
2) Anton, Howard . Cálculo um novo horizonte. v 1. Editora Bookman.

Problemas e Soluções- 23

Questão (Petrobras 2012): Qual é o valor da integral

 

a)           b)          c)          d) -18         e) 0

Solução:

 

é a área abaixo da curva   entre [-3,3]. A curva é    , circunferência centrada na origem de raio 3, a metade pois   . A área é

Assim a resposta é     o item c)
Lembrete: Se  em [a,b] , então     é a área delimitada pelo gráfico de f(x), as retas x=a e x=b, além do eixo x.
Nota: É possível resolver esta integral com a substituição   , mas o caminho é doloroso.

Solução sem sentido?

          É comum em livros de Matemática do ensino básico, o problema: Um jardim tem o formato de um retângulo. A área do jardim é de e o comprimento excede de 3 m a largura. Quais as dimensões deste jardim?

          Se c é o comprimento e L a largura, a formulação do problema de forma adimensional, é dado por:    e .

         Substituindo L da segunda equação na primeira, obtemos a equação .

         Para esta equação temos duas soluções. Uma é o que leva a , solução do problema em questão. Outra é considerar , o que leva a , e para o problema, esta solução é descartada, pois comprimento é uma quantidade inerentemente positiva. Se esta equação ocorresse na Física, o físico não descartaria de imediato a solução aparentemente sem sentido, sem antes questionar se há algum sentido subjacente escondido nesta solução, esperando para ser revelado, como aconteceu em 1928 com Paul Dirac.

         Dirac, descrevendo o comportamento de um elétron movendo-se em um campo eletromagnético arbitrário, notou que as soluções ocorriam em pares, de modo que, em certo sentido, análogo ao modo como as raízes complexas de ocorrem, na forma u+iv e u-iv. Qualquer solução em que a partícula apresentasse energia positiva, tinha uma contrapartida na qual a partícula apresentava energia negativa – uma ideia tão desnorteante quanto a um jardim com largura negativa. Dirac percebeu que isso poderia corresponder a uma partícula semelhante a um elétron, cuja carga fosse positiva (os elétrons tem carga negativa), ideia esta que foi recebida pela comunidade com ceticismo. Mas, em 1932, o físico Carl Anderson descobriu o antielétron, que foi batizado de pósitron confirmando a afirmação de Dirac. Ao restringirmos domínios, podemos estar deixando de ver algo maravilhoso e inesperado nas restrições.

Fonte: Como a Matemática explica o mundo; James D. Stein

Problemas e Soluções - 29

Questão (Mantenedores): Para a função     definida nos reais, considere as afirmações:

I -  Intercepta o eixo y em -1 e 1;
II - É crescente em (-1,0) e decrescente em ;
III -  É crescente em  e decrescente em (0,1);
IV -  Crescente em  e intercepta o eixo x em -1 e 1
Podemos então afirmar que :
a) I e IV são falsas;
b) II e IV são falsas;
c) I e III são verdadeiras;
d) I é falsa, III e IV verdadeiras;
e) só I é falsa.

Solução:
  com eixo x:  com raízes -1 e 1;
     com eixo y: ;

logo,  em  e ;

   em     e  .

          Assim, I, II e III são falsas, III e IV verdadeiras. Portanto, a resposta é d).
Lembrete:
 em  , f é crescente, e   em   , f  é decrescente.

NOTA BAIXA EM CÁLCULO?

Observe com bastante atenção as igualdades abaixo (ERRADAS):

Encerramos esta postagem, não querendo culpar nem o Professor nem os alunos nem ninguém por estes erros cometidos numa prova de Cálculo em uma escola de ensino superior. A bem da verdade e a meu ver são erros corriqueiros, constantes e grosseiros e que tudo indica não são corrigidos durante o tempo de permanência do aluno nos ensinos fundamental e médio da sua vida escolar. E a pergunta que fica é: Por que erros como esses são cometidos com tanta frequência?