Equações Diferenciais: Evolução Histórica

O desenvolvimento das Equações Diferenciais (E.D.) está entrelaçado com o da Matemática e da Tecnologia. Vamos descrever na ordem cronológica os principais responsáveis por este ramo da Matemática.

Tudo começou com Newton (1642-1727) e  Leibniz (1646-1716) com suas descobertas no Cálculo e das leis fundamentais da Mecânica. Newton classificou as E.D. ordinárias de primeira ordem de acordo com as formas:

e para esta mais geral, desenvolveu um método de resolução através de séries infinitas para o caso de f(x,y) ser um polinômio nas variáveis x e y. Já Leibniz descobriu o método da separação de variáveis, a redução de equações homogêneas em separáveis, e o procedimento para resolver as E.D. lineares de primeira ordem.

                Os irmãos Jacob (1654-1705) e Johann (1667-1748) Bernoulli fizeram muitas contribuições de resolução de E.D. além de ampliar as aplicações deste ramo da Matemática em problemas da Mecânica. Daniel Bernoulli (1700-1782) tem contribuições nas E.D. parciais e suas respectivas aplicações, e tem seu nome associado a conhecida equação de Bernoulli da Mecânica dos Fluidos, e foi o primeiro a encontrar as famosas funções de Bessel.  Euler (1707-1783) identificou a condição de exatidão das E.D. de primeira ordem, desenvolveu a teoria dos fatores de integração, apresentou a solução geral das equações lineares com coeficientes constantes, passou a usar séries de potências para resolver E.D. e propôs um procedimento numérico Para encontrar uma solução aproximada para problemas de valor inicial de primeira ordem.

                Já  Lagrange (1736-1813) autor da obra Mécanique Analytique, mostrou que a solução de uma E.D. homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes, fez o desenvolvimento completo do método da variação de parâmetros e um tratado fundamental nas E.D. parciais. Laplace (1749-1827) foi responsável pela chamada equação de Laplace e da transformada integral que leva seu nome, usada mais tarde na resolução de E.D..

                No fim do Século XVIII vários outros métodos elementares para a solução de E.D. ordinárias foram descobertas. No Século XIX, o interesse voltou-se para as questões teóricas voltadas à existência e unicidade de solução, e o desenvolvimento de métodos menos elementares, como os baseados em expansões em séries de potências. As E.D. parciais começaram a ganhar força devido ao seu papel para a Física Matemática. Surge também as funções de Hermite, Legendre, Bessel e outras como soluções de E.D. ordinárias, bem como métodos numéricos bem eficientes para a determinação de solução aproximada, o que ganhou força com o avanço do desenvolvimento dos computadores. Ainda no Século XX, foi criado métodos geométricos ou topológicos com o intuito de compreender qualitativamente o comportamento das soluções especialmente das equações não lineares.

                Nos últimos anos houve uma convergência dos métodos citados anteriormente, proporcionando um novo impulso a este estudo surgindo conceitos como atratores estranhos, caos e fractais. Ressalta-se também o avanço do sistema computacional proporcionando a solução aproximada com muita precisão através de métodos numéricos de muitas equações não lineares.

Fonte:

1.       História da Matemática; Carl B. Boyer

2.       Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno; William E. Boyce e Richard C. DiPrima

Para o Pessoal da Academia: Débito de Oxigênio

            Quando você em repouso sai deste estado e passa a exercitar-se vigorosamente, a necessidade de consumo do oxigênio pelo seu organismo. chega a um nível de 10 a 15 vezes mais alto que o nível inicial (em repouso). O trabalho mecânico decorrente de uma atividade física pode aumentar instantaneamente, porém o consumo de oxigênio cresce apenas de forma gradativa, atingindo seu estado de equilíbrio somente dentro de alguns minutos, devido a ajustes fisiológicos. Entretanto, quando você interrompe os exercícios, embora as necessidades energéticas sejam bem menores, o consumo de oxigênio permanece relativamente alto durante um certo período, variando de acordo com o esforço despendido, sua duração e nível de sua aptidão física. Este oxigênio consumido acima do nível de repouso, durante a fase de recuperação é conhecido como débito de oxigênio. Este oxigênio é usado para fornecimento da energia depletada, com o objetivo de restabelecer o nível antes dos exercícios. Lembre, entrre todos os nutrientes que os organismos aeróbicos necessitam, o mais crucial à vida é o oxigênio.

Fonte: Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas; Airton Fontenelle (UFC) e outros; Editora Harbra.

“Qualquer caminho serve quando você não sabe para onde está indo” Lewis Carrol.

A Respiração na Altitude

A Respiração na Altitude

                Em partidas de futebol dos Campeonatos Libertadores das Américas e Copa Sul-Americana, ouve-se falar que jogos em altitude elevada, como em La Paz (Bolívia), a respiração fica comprometida, dizem que é porque o ar é rarefeito, dificultando o desempenho dos atletas que estão acostumados a baixas altitudes. Vamos a explicação científica deste fato:

                O ar atmosférico tem a seguinte concentração em sua composição (valores aproximados): 79.01% de nitrogênio, 20.95% de oxigênio, 0.04% de dióxido de carbono e outros gases como hélio, hidrogênio e outros, além de uma concentração variável de vapor de água, a qual caracteriza a chamada umidade do ar. Sabe-se também que esta concentração pose ser considerada a mesma desde o nível do mar até aproximadamente 30.000 metros de altitude, assim, por exemplo, em La Paz a percentagem de oxigênio é a mesma que no Rio de Janeiro.

                O que de fato dificulta a respiração em altitude elevada?

                A pressão  atmosférica do ar diminui se aumentamos a altitude. O aproveitamento do oxigênio durante a respiração depende da pressão do ar que chega aos pulmões, o qual passa a ter importância na fisiologia da respiração. A pressão atmosférica pode ser expressa matematicamente da forma

p=760 x (0.885)^h/1000 torr

onde p é a pressão, h é a altura em relação ao nível do mar, medida em metros e torr é a unidade de medida,  Torricelli. Assim, ao nível do mar, h=0 e a pressão é de 760 torr; a 1000 metros de altura a pressão é de 672.6 torr, a 2000 metros e de 595.25 torr, de forma que,  é a queda da pressão atmosférica que dificulta a respiração dos atletas em jogos em altitude elevada.

Fonte: Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas: Airton Fontenelle (UFC) e outros; Editora Harbra.

“O único lugar aonde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário” Einstein

Ciências Médicas e Biológicas e a Matemática

                Durante muito tempo a Matemática e a Física (pilares da Engenharia), caminharam juntas com benefícios mútuos. Mais recentemente (com relação à Física), conquistas de vários ramos da Engenharia foram viabilizadas após o uso de técnicas matemáticas no problema matematizado.

                Já na Medicina a viabilidade do tratamento matemático em seus problemas são postos em dúvida e criticados, com o argumento que os processos biológicos são amplos e mudam constantemente, tornando a Matemática inadequada e muitas vezes impossível. Por outro lado, é visível que o avanço científico é lento, se conduzido em grande parte em termos intuitivos e, expostos na linguagem usual, de forma que os problemas precisam ter suas variáveis identificadas e relacionadas de modo lógico para que a matematização seja viável e que ferramentas matemáticas pertinentes possam apoiar na solução rápida do problema.

                Atualmente, as técnicas e métodos para compreensão e análise da variabilidade biológica estão ao alcance da Probabilidade e Estatística no qual apoiado por computadores, processam grande quantidade de dados e variáveis mostrando relações possíveis entre elas. Lembre que após a matematização do problema, você seguirá as leis do pensamento matemático colaborando assim com a solução, sugerindo ao pesquisador roteiros de como chegar ao objetivo.

Fonte: Cálculo Para Ciências Médicas e Biológicas: Airton Fontenelle (UFC) e outros; Editora Harbra.

“ Tomando a Matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade” Leibniz

                 

Invenções Nacionais Que Ganham o Mundo

                A mais famosa foi apresentada por Santos Dumont em 1906, quando este inventor brasileiro decolou com seu modelo 14-BIS, nos arredores de Paris (França) percorrendo no ar por volta de 220 metros de distância, independente de qualquer outro recurso. Este evento foi presenciado por várias pessoas, o que o credenciou como inventor desta preciosidade.

                Uma segunda é o copo americano criado em 1949 pelo designer Nadir Figueiredo. Este produto é bastante popular no Brasil e é também comercializado em outros países, principalmente nos Estados Unidos com sucesso.

 No ano 2000, o veterinário Rosalvo Guidolin  (brasileiro) apresentou sua invenção: o soro antiofídico em pó. Este soro, ao contrário do líquido que precisa ser conservado a uma temperatura entre 4^o C e 8⁰ C, não passa por este rigor no seu manuseio. Além de ter um prazo de validade maior, este invento permite  que o homem que trabalha no campo, militares que se embrenham em florestas e aqueles que gostam de aventura, levem em sua mochila este soro para sua proteção.

Para encerrar o coletor eletrônico de votos conhecido como Urna Eletrônica é também invenção de brasileiro. Esse aparelho eletrônico além de agilizar o processo de votação, também contabiliza os votos de imediato após encerrar a votação. Esse invento é de autoria do juiz eleitoral de Santa Catarina, Carlos Prudêncio e seu irmão (empresário em informática), e foi colocado em teste em 1989. Podemos afirmar que, o Brasil tem o sistema de eleição mais moderno e sigiloso comparado a outros países, graças às Urnas Eletrônicas. Usando estas urnas citamos o Equador, Paraguai, México e vários outros  já demonstraram interesse neste sistema.

Dom Pedro II e Graham Bell

                Um fato curioso. É conhecido que o norte-americano Graham Bell inventou o telefone. Este invento foi apresentado pela primeira vez em uma Exposição na Filadélfia em 1876, mas os julgadores do evento (juízes) não deram importância ao aparelho  telefônico apresentado por este brilhante inventor.

                Nesta época, Dom Pedro II, Imperador do Brasil em visita aos Estados Unidos da América, foi a esta Exposição e ao se deparar com o dito aparelho, e ouvir a voz de Graham Bell através do aparelho, exclamou: "Meu Deus, isto fala!”  o que provocou um tumulto no Salão de Exposição, chamando a atenção dos juízes. A partir daí, esta invenção ganhou o mundo.

Fonte: Revista de História da Biblioteca Nacional; Outubro 2010

A Equação Diferencial Ordinária Manda Recado

                O recado aqui vai relacionado ao  famoso Teorema de Existência e Unicidade voltado aos problemas de Valor Inicial de primeira ordem, assim enunciado: “Seja W uma região retangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém o ponto (x₀,y₀) em seu interior. Se f(x,y) e f_y são contínuas em W, então existe um intervalo centrado em x₀ ,              x₀-h < x <  x₀+h e uma única função y(x) definida neste intervalo solução do P.V.I.              [dy/dx] = f(x,y)  e  y(x₀) = y₀ onde x₀ e y₀ são valores dados.”

Recado – 1: A conclusão deste teorema continua válida se a condição de f_y contínua  for substituída por uma condição mais fraca; mas a existência de solução (mas não a unicidade) só ocorre com a continuidade de  f(x,y).

Recado – 2: É comum no pessoal da tecnologia que modelam seus problemas através da Matemática, utilizar as E.D.O. e principalmente os P.V.I. de primeira ordem para descrever matematicamente seus modelos técnicos. As respostas que buscam em seu modelo estão na solução do P.V.I., e em geral a E.D.O. possue  um alto grau de não linearidade e que dificulta a encontrar a solução, passando então aos métodos numéricos para encontrar uma solução aproximada. A certeza de que o P.V.I. têm uma única solução evita possíveis flutuações dos métodos numéricos o que inviabiliza encontrar o desejado.

Fonte: Boyce; Diprima; E.D. Elementares e Problemas de Valores de Contorno.

A Universidade e o Chuveiro Elétrico

                Sem dúvida, tomar um banho em um chuveiro elétrico após um dia de muitas atividades é relaxante, e esta comodidade proposta pela tecnologia não tem cem anos. Pesquisadores voltados a história da humanidade informam que o chuveiro sem aquecimento, já existia na Antiguidade entre os gregos, egípcios e romanos. No século XX o chuveiro passou a ser aquecido com gás e seu aquecimento com energia elétrica surgiu em 1927 na Universidade de São Paulo – Brasil em testes laboratoriais. Com pouco tempo passou para a escala comercial, possibilitando acesso e,  um maior conforto a todos.

Como o Pessoal da Tecnologia Vê os Números e Seus Cuidados

                É frequente na área da Tecnologia, fazer medições tais como temperatura, densidade, resistência, número de partícula, surgindo destas ações números que fornecerão informações sobre o objeto de estudo. A ordem de grandeza de uma medição é um fator importante para tomada de decisão. O pessoal da tecnologia tem um modo bastante prático de representar números que são muito grande ou muito pequeno em valor absoluto.

                Eles expressam através de uma constante entre 1 e 10 ( mas menor que 10), multiplicado por uma potência de 10. Por exemplo, 70.000 pode  ser escrito na forma 7x10⁴; 1.000.000.000 pode ser escrito como 1x10⁹. Semelhantemente, a fração 0.0003 pode ser transformada em 3x10^-4, já 0.00000071 pode ser escrito como 7.1x10^-7. Note que os algarismos significativos do número são, por convenção, expressos  com um algarismo à esquerda da vírgula decimal. Assim a ordem de grandeza do número é medida em termos do tamanho do expoente do 10, considerando o sinal. Esta representação é conhecida também como notação científica.

                Um cuidado pertinente é quanto às aproximações. Veja o caso em que dois números aproximadamente iguais são subtraídos e seu resultado faz parte de uma expressão numérica. Como exemplo, o cálculo manual de

(0,000000000000016 – 0,000000000000015)x10¹⁵=1.

                Já na maioria das calculadoras e meios computacionais este resultado é zero, pois elas podem apenas armazenar números com 14 casas decimais de forma que, os números envolvidos na subtração são idênticos até a quarta casa decimal. Além disso, é comum tomar estes números como zero pois tratam-se de quantidades pequenas. Assim, precisamos estar atento quando trabalhamos com os números.

Recado da Álgebra Linear

                Uma consequência do famoso teorema do núcleo e da imagem é assim enunciado: Sejam  V e W espaços vetoriais tais que dim V = dim W = n. Uma transformação

T: V →  W

É injetora se, e somente se, é sobrejetora (isomorfismo). Este resultado pode não ser verdadeiro para espaços vetoriais de dimensão infinita. Veja os exemplos V=W = ℝ^¥ é o conjunto de todas as sequências numéricas (x₁,x₂,x₃,...) munido das operações de soma e produto por escalar naturais.

Primeiro: T : ℝ^¥  →  ℝ^¥ definida por   T(x₁,x₂,x₃,...) = (0,x₁,x₂,x₃,...)é linear e injetora e não é sobrejetora pois (1,0,0,0,...)Î núcleo (T) e não a imagem;

Segundo: Defina T da forma T(x₁,x₂,x₃,...) = (x₂,x₃,x₄,...) é linear  sobrejetora, mas não injetora, já que T(0,0,0...)=(0,0,0,...) e T(1,0,0,0,...) = (0,0,0,0,...).

Fonte: Hoffman; Kennety and Kunze, Ray; Álgebra Linear

A Álgebra Linear e seu CPF

                O seu CPF é composto de 11 números sendo os dois últimos o chamado controle ou dígito de verificação. Vamos aqui explicar através de um exemplo como encontrar estes dígitos de controle. O meu CPF é 512769928-15.

                Primeiro (1):

Com o CPF  gere o vetor u =(5,1,2,7,6,9,9,2,8) e considere o vetor v = (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Faça u.v = 5x1+1x2+2x3+7x4+6x5+9x6+9x7+2x8+8x9 = 276. Agora divida este valor por 11 e observe o resto, ou seja, 276:11 tem resto 1 que é o primeiro dígito verificador;

                Segundo (5):

Gere o vetor u acrescentando o primeiro dígito encontrado, no caso 1. Temos,

u = (5,1,2,7,6,9,9,2,8,1) e considere v = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Faça u.v = 5x0+1x1+2x2+7x3+6x4+9x5+9x6+2x7+8x8+1x9. Dividindo este valor por 11, obtemos resto 5, que é o segundo dígito verificador.

Desafio: faça o mesmo com o seu CPF.

Generalizando:

CPF: n₁n₂n₃n₄n₅n₆n₇n₈n₉d₁d₂

Primeiro (d₁):

Forme os vetores u = (n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6,n_7,n_8,n₉) e v =(1,2,3,4,5,6,7,8,9). Calcule

u.v =1x n₁  + 2 x n₂ +3 x n₃ +4 x n₄ +5 x n₅ +6 x n₆ +7 x n₇ +8 x n₈ +9 x n_9. Logo d₁ = u.v mod 11 onde u.v é o valor numérico obtido.

                Segundo (d₂):

Forme os vetores: u = (n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6,n_7,n_8,n_9,d₁) e v = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e calcule

u.v =0x n₁  + 1 x n₂ +2 x n₃ +3 x n₄ +4 x n₅ +5 x n₆ +6 x n₇ +7 x n₈ +8 x n₉+ 9 x d₁ e                       d₂ = u.v mod 11.

A Linguagem Matemática no Tempo

                Até o século  XVI, expressões matemáticas eram escritas de forma excessivamente verbal ou retórica. Por exemplo, em 1591, VIÉTE, para representar a equação,5 A²+9 A-5=0 escrevia em bom latim: “5 in A quad et 9 in A planu minus 5 acquatur 0”.

                Já o símbolo +, uma explicação razoável é que até então, a adição de dois números, por exemplo, 2+5, era representado por ”2 et 5”. Com o passar dos anos, a conjunção latina “et” foi sincopada para t, do qual se originou, no fim do século XV, o sinal +. 

De D’Alembert à Wikipédia

De D’Alembert à Wikipédia

                No século XVIII os franceses, o escritor Denis Diderot e o matemático D’Alembert resolveram organizar todo o conhecimento mundial até o momento em apenas um lugar, permitindo assim que uma pessoa que soubesse ler, tivesse acesso aos conhecimentos científico, cultural e filosófico produzidos até o momento da criação. A Enciclopédia foi criada e continha mais de 70.000 verbetes que abrangiam todas as áreas do conhecimento da época, além de artigos sobre o iluminismo e outras ideias liberais, fazendo com que a Igreja Católica que na época coordenava o pensamento livre, o rejeitasse.

                Esse trabalho inspirou a Independência dos Estados Unidos em 1776 e a Revolução Francesa em 1789, fornecendo bases teóricas para estes eventos.

                Esta primeira Enciclopédia tinha 28 volumes (17 de textos e 11 de imagens) e no século XVIII as impressões eram precárias. Com a evolução da tecnologia da impressão ao longo do tempo, chegamos a enciclopédia digital a WIKIPEDIA.

Carnaval e Semana Santa

                Por que o Carnaval e a Semana Santa mudam ano a ano, diferentemente do Natal?

                No início, a maioria dos cristãos celebrava sua Páscoa uma semana após a dos judeus, que é conhecida como Festa da Libertação do povo judeu do Antigo Egito. Isto ocorreu de acordo com o calendário judaico, no Oriente Médio, na estação do ano, primavera sendo que a partir daí os judeus deixaram de ser escravos. Os judeus passaram a comemorar sua Páscoa na primeira lua cheia do equinócio da primavera (outono no hemisfério sul). Já a Páscoa cristã a partir do ano 325 após o Concílio de Niceia, passou a ser comemorada no primeiro domingo de lua cheia depois do equinócio de primavera. A partir daí é só caminhar no calendário: Domingo de Ramos é uma semana antes da Páscoa, a Quarta-feira de Cinzas é 40 dias antes do domingo de Ramos (Quaresma) e um dia antes é Terça-feira de Carnaval.

                Terminamos com duas informações:

Primeira – A palavra equinócio, elemento da Astronomia, vem do latim AEQUUS (igual) e NOX (noite) e significa noites iguais, ocasiões em que o dia e a noite duram o mesmo tempo;

Segunda – Para você programar seus passeios até 2020, vai a informação ano a ano de que dia de Abril vai ser a Páscoa cristã: 2017 no dia 16; 2018 dia 01; 2019 dia 21 e em 2020 dia 12, de acordo com a Astronomia. 

As Equações Diferenciais ao Longo do Tempo

                O desenvolvimento das equações diferenciais (E.D.) ordinárias e parciais está entrelaçado com o da Matemática. Vamos traçar um perfil histórico deste desenvolvimento e os personagens principais.

                Tudo começou com o inglês Isaac Newton (1642-1727) com suas descobertas no Cálculo (derivada) e das leis fundamentais da Mecânica publicadas em 1687 no livro Philosophia Naturalis Principia Mathematica, e com Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que chegou aos mesmos resultados de Newton no Cálculo de forma independente após Newton, mais foi o primeiro a publicá-los em 1684 na  Acta  Eruditorium  espécie de periódico científico da época. Newton classificou as E.D. ordinárias de primeira ordem em três grupos:  as que se escrevem nas formas

   e  onde .

Para as da forma  quando é um polinômio nas variáveis x e y, Newton desenvolveu um método de como resolver a E.D. via séries infinitas. Já Leibniz descobriu o método de separação de variáveis em 1691, a redução de equações homogêneas em separáveis e em 1694 o procedimento de como resolver uma E.D. ordinária de ordem linear.

                Johannn Bernoulli (1667-1748) e seu irmão Jakob (1654-1705) contribuíram no desenvolvimento de resolução de E.D. e ampliaram o campo de aplicação em Mecânica. Em 1694 Johannn Bernoulli resolveu a equação , para constante sendo que, na época não tinha ainda a informação que . 

Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johannn Bernoulli, com interesse nas E.D. parciais e suas aplicações tem seu nome associado à conhecida equação de Bernoulli da Mecânica dos fluidos e foi o primeiro a encontrar as funções que hoje são conhecidas como funções de Bessel.

                Leonhard Euler (1707-1783) aluno de Johannn Bernoulli e parceiro de Daniel Bernoulli foi considerado o maior matemático do século XVIII. Tem contribuição em quase todas as áreas da Matemática; identificou a condição de exatidão das E.D. ordinárias de primeira ordem, contribuiu para a teoria dos fatores integrantes, apresentou a solução geral das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, trabalhou com as equações não homogêneas, usou séries de potências para resolver E.D. ordinárias, além de propor um método numérico para um problema de valor inicial de primeira ordem e contribuições no estudo das E.D. Parciais.

                Avançando um pouco mais no tempo, nos deparamos com Joseph Louis Lagrange (1736-1813) que obteve fama com a obra Mécanique Analytique publicada em 1788, e quanto às E.D. mostrou que a solução de uma E.D. ordinária linear de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes, publicou o desenvolvimento completo do método da variação dos parâmetros e fez um tratamento fundamental nas E.D. Parciais.

No período de 1749 á 1827, viveu Pierre Simon de Laplace que marcou sua presença com a conhecida equação de Laplace e com as transformadas de Laplace útil para encontrar a solução de E.D. Ordinárias. No final do século XVIII outros métodos elementares para resolver E.D. Ordinárias foram descobertas. Já no século XIX o interesse voltou-se para as questões da existência e unicidade de Problema de Valor Inicial e para métodos baseados em séries de potências, surgindo várias funções soluções de E.D., tais como a de Bessel, Chebyshev, Legendre, Hermite e Hankel. Neste período, as equações que não se resolviam por meios analíticos, levaram a aprimorar e elaborar métodos numéricos para descrever a solução de forma aproximada. A partir daí, o interesse voltou-se a compreensão qualitativa do comportamento das soluções do ponto de vista geométrico e o uso de procedimentos numéricos de E.D. e sistemas, não lineares.

Fontes:

1.       Boyce, William; Diprima, Richard: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno; Editora LTC

2.       Boyer, Carl B.; História da Matemática; Editora Edgard Blucher LTDA.

A Álgebra Linear na Graduação

Álgebra Linear é um segmento da Matemática que teve sua origem na discussão de Sistemas Lineares Algébricos e Diferenciais. Como tópicos principais abordados em graduação, citamos os espaços vetoriais (morada de vetores) e suas propriedades, as transformações lineares entre espaços vetoriais com destaque para os operadores (transformações lineares de um espaço nele mesmo), além dos autovalores e auto vetores bem como a diagonalização de operadores. Na sequência, escrevemos os resultados principais: O Espaço ℝⁿ, Combinação linear e independência linear entre vetores, bases, ortogonalidade no ℝⁿ, bases ortogonais e o algoritmo de GRAM-SCHMIDT, transformações lineares e suas propriedades, coordenadas e mudança de base, autovalores e auto vetores, diagonalização de operadores e equações diferenciais ordinárias lineares.

Quanto sua aplicação, além da forte contribuição para a solução exata de equações diferenciais ordinárias lineares e em processos aleatórios (Cadeias de Markov), temos também sua presença na Física, em Ótica e Mecânica Quântica, na Engenharia no estudo de vibrações e em Dinâmica de corpos rígidos ligados a problema de rotação e translação, fazendo-se também presente no problema de temperatura em estado estacionário em uma placa fina com faces isoladas. Para encerrar lembramos também a Criptografia, Computação gráfica e o modelo presa-predador como usuários da Álgebra Linear. Mais detalhes podem ser vistos em LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS; GILBERT STRANG; ACADEMIC PRESS. 1980 

A origem do Prêmio Nobel

Em 1895, uma fortuna de 33 milhões de coroas sueca era legada em testamento pelo Químico, Engenheiro e Industrial sueco Alfred Bernhard Nobel (1833-1896) para uma fundação que premiaria anualmente pessoas ou instituições que tivessem contribuído para benefício geral da humanidade em diferentes áreas da Ciência, na Literatura e na luta pela paz, e que não deveria haver discriminação com relação a nacionalidade do premiado.

Para a distribuição dos prêmios, Nobel indicou a Academia Real Sueca de Ciências (para escolher os laureados nas áreas de Física e Química), o Instituto Real Carolíneo Médico-Cirúrgico (para os de Medicina ou Fisiologia), a Academia Sueca (para os de Literatura) e o Parlamento Norueguês (para os da paz). Mais tarde, em 1968, foi instituído o Prêmio Nobel de Economia, patrocinado pelo Banco Sueco.

O primeiro conjunto de prêmios foi entregue no dia 10 de dezembro (data de morte de Alfred Bernhard Nobel) de 1901, e o de Economia em 1969.

Fonte: Memória Hoje, Volume 2, Ciências Exatas (Instituto Ciências Hoje)

A Holografia e o Futebol

 

  A palavra holografia é proveniente do grego. Holografia

é uma espécie de fotografia tridimensional que usa a

propriedade ondulatória da luz enquanto método de

registro “integral” da informação, posto que considera

tanto o relevo quanto a profundidade das imagens.

A holografia foi concebida teoricamente em 1948 pelo físico húngaro Dennis Gabor, agraciado com o prêmio Nobel de Física em 1971 por esta criação. No entanto, somente a partir dos anos 1960, com a invenção do laser, foi possível executar a técnica. Em 1967, o físico russo Yu DNISYUK conseguiu fazer hologramas visíveis sob a luz comum, o que antes era necessário o laser, tanto para ser produzida quanto para ser vista.

Já está em andamento o acúmulo de tecnologia para transmitir futebol por holografia, onde não há tela comum como a presença da televisão ou cinema. Imagine-se comprando um ingresso para assistir a uma partida do seu time favorito no estádio da sua cidade: toda a movimentação da partida transcorrerá dentro do gramado a sua frente, incluindo os jogadores, juízes, sons, dribles, tudo em tamanho real e tempo “real” (pode-se admitir um “delay” de alguns segundos, considerando-se o volume de informações digitais que transitarão). No entanto, a partida ao vivo está ocorrendo há milhares de quilômetros da sua cidade... Certamente, muito melhor que enfrentar as brigas de torcida nos grandes centros urbanos, além do marasmo do sofá com as narrações irritantes de algumas transmissões televisivas...

“halos” (todo ou inteiro) e “graphos” (sinal ou imagem)

Novidade na Praça.

            A Editora Ciência Moderna lançou o livro “Elementos da matemática Básica para Universitários”, livro este destinado aos estudantes que vão receber a Matemática do Ensino Superior e necessitam de uma revisão. Para aqueles estudantes que estão voltando ao curso superior após uma pausa, entendemos que é uma leitura obrigatória e um livro que poderá ser consultado na operacionalização dos elementos da Matemática do Ensino Superior.

            A tecnologia está presente neste livro através do software WXMAXIMA, que tem entre seus atributos cálculos aritméticos, traçado de gráficos e a lógica matemática simbólica.

Organização do Livro

           

             A estrutura deste livro está apresentada da seguinte forma: nos três primeiros capítulos tratamos os números reais e suas operações, campo de trabalho das disciplinas iniciais da Matemática do Ensino Superior, além de expressões algébricas, equações de primeiro e segundo graus e as operações de potenciação e logaritmo nas principais bases. Nos capítulos 4, 5 e 6 tratamos as funções, consideradas uma das mais importantes palavras da linguagem Matemática, que surgem da necessidade quando modelamos algo, muito comum em tecnologia e em outras áreas do conhecimento. Nos próximos dois capítulos apresentamos os números binomiais, com ênfase ao Binômio de Newton e as áreas e volumes das regiões mais usuais em nosso cotidiano, que embasam o cálculo de áreas e volumes de regiões mais complexas. Nos dois últimos capítulos mostramos os passos e ideias iniciais da Probabilidade e Estatística clássica. A seguir, colocamos um Apêndice, onde citamos como ter acesso ao WXMAXIMA, e um guia prático de como usá-lo nos tópicos abordados neste livro. Finalmente, para ajudar o estudante na solução dos problemas propostos, colocamos as respostas e sugestões destes ao final de cada tópico.

            

 Este livro pode ser adquirido através do endereço www.lcm.com.br ou nas grandes livrarias.

Nas versões IMPRESSO (R$48,00) ou E-book (R$28,80).

Os Autores são os Professores

Carlos Alberto B. Braga

José Vicente Moreira (Organizador)

Roberto A. Capistrano

Solange Delgado Moreira

           

Resolve Esta- 03

               Se a distância entre duas cidades for, por exemplo, 190 km e uma pessoa em seu carro viajar de uma até a outra em 2 horas, dizemos que nessa viagem o carro desenvolveu uma velocidade média de 95 km/h. Suponha que uma pessoa viaja de uma cidade A para uma cidade B com velocidade de 90 km/h e volta de B para A com velocidade de 110 km/h. Nessa viagem de ida e volta, qual foi à velocidade média desenvolvida?

Fonte: Revista do Professor de Matemática número 81.

Resposta: 99 km/h