Problema do aniversário : considere k pessoas numa sala. Qual a probabilidade de que, pelo menos duas pessoas, faça aniversário no mesmo dia e mês ? Qual é o valor mínimo de k, para qie este evento ocorra com probabilidade maior que 1/2.
A probabilidade é dada por :
(Bussab e Moretin, 127p).
Generalização : Considere uma variável aleatória a valor inteiro com distribuição uniforme entre 1 e n, e uma seleção de k ocorrências da variável aleatória, com k ≤ n. Qual a probabilidade P(n,k) de que ocorra pelo menos uma duplicata ? Qual o valor mínimo de k para que este evento ocorra, com probabilidade maior que 1/2 ? Este problema é o do aniversário com n = 365.Assim, podemos escrever :
Generalização : Considere uma variável aleatória a valor inteiro com distribuição uniforme entre 1 e n, e uma seleção de k ocorrências da variável aleatória, com k ≤ n. Qual a probabilidade P(n,k) de que ocorra pelo menos uma duplicata ? Qual o valor mínimo de k para que este evento ocorra, com probabilidade maior que 1/2 ? Este problema é o do aniversário com n = 365.Assim, podemos escrever :
(troque 365 por n na anterior)
Temos:
Logo,
Mas,
De forma que ,
O valor de k:
Queremos k mínimo tal que :
Para k grande.
Finalmente,
Para o problema do aniversário, temos :
Logo, k = 23 e FELIZ ANIVERSÁRIO!
O irmão computacional : O problema também este versão : considere uma função F, com 2m possíveis saídas (saída de m bits). Se aplicarmos F a k entradas aleatórias, qual o valor de k para que haja pelo menos uma duplicata, isto é, F(x)=F(y) para algumas entradas x e y com probabilidade maior que ½ ?
Neste caso :
de acordo com a solução anterior, substituindo n por 2m .
Referências :
BUSAD E MORETIN. Estatística Básica. 5a edição
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