A evolução do limite matemático no tempo - 1

A ideia de limite já se fazia presente no axioma de Arquimedes que formava a base do método de exaustão dos gregos, o qual afirmava: “Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente subtrair-se não menos que a metade, e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie”. Por volta de 1671, Newton novamente usou a ideia de limite em seu Cálculo dos infinitésimos no estudo dos movimentos. Em 1821 Cauchy deu ao Cálculo elementar a forma que tem hoje, dando um caráter algébrico mais preciso, colocando uma definição relativamente precisa de limite, a saber: “quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a finalmente diferir deste de tão pouco quanto se queira, esse último chama-se o limite de todos os outros”, publicado em “Cours d’ Analyse de L’École Polytechnique”.

Heine, em 1872 influenciado por Weierstrass, definiu o limite da função f(x) em , como segue:

“Se dado qualquer existe um    tal que para 0 < n < a diferença é menor em valor absoluto que então L é o limite de f(x) em  ". 

Nessa definição fria e precisa, estão presentes os números reais, as operações de adição e subtração, e a relação menor que. Este simbolismo de Weierstrass e Heine marca a chegada do rigor matemático dessa ideia. Hoje o n de Weierstrass é frequentemente substituído pela letra grega (delta), e é conhecido como provas por épsilons e deltas.

Ressaltamos aqui que, este conceito é uma ponte entre a álgebra e a trigonometria com o Cálculo diferencial, além de ser a pedra fundamental onde se apoia a taxa de variação. Esta formalização de Heine resolve o problema da palavra proximidade que é um incômodo na definição intuitiva, pois, um engenheiro pode considerar uma medida boa para seus propósitos, quando estiver a m do objetivo, já um maratonista considera próximo de sua meta quando estiver a 100 m do ponto final.

A definição dos e abrange estas e outras situações de proximidade. Lembramos também que, este conceito é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do Cálculo estão baseados.

Para concluir, lembramos que para encontrar algebricamente limite de funções, no caso da reta, inclusive limites infinitos e no infinito   pode-se adotar a seguinte estratégia:

Primeiro passo: Estabelecer limites de algumas funções elementares (simples) através de sua continuidade, e quando for o caso reconhecer o comportamento assintótico e os limites no infinito;

Segundo passo: Estabelecer resultados teóricos para lidar com funções oriundas das elementares através das operações entre funções.

Fonte:

1) Boyer, Carl B. História da Matemática. Editora da USP
2) Anton, Howard . Cálculo um novo horizonte. v 1. Editora Bookman.