MATEMÁTICA E AS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO: Problemas e Soluções- 23

segunda-feira, 1 de julho de 2013

Problemas e Soluções- 23

Questão (Petrobras 2012): Qual é o valor da integral

$\int_{-3}^{3} -\sqrt{9-x^2}dx$

a) $-18\pi$ b) $-6\pi$ c) $-\dfrac{9\pi}{2}$ d) -18 e) 0

Solução:

$\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx$

é a área abaixo da curva $y=\sqrt{9-x^2}$ entre [-3,3]. A curva é $y^2+x^2=9$ , circunferência centrada na origem de raio 3, a metade pois $y\geq 0$ . A área é

$\dfrac{\pi3^2}{2}=\dfrac{9\pi}{2}$

Assim a resposta é o item c)
Lembrete: Se $f(x)\geq 0$ em [a,b] , então $\int_{a}^{b}f(x)dx$ é a área delimitada pelo gráfico de f(x), as retas x=a e x=b, além do eixo x.
Nota: É possível resolver esta integral com a substituição $x=3sen\theta$ , mas o caminho é doloroso.