Um Matemático Português e Cauchy

          A história da divulgação das descobertas científicas faz parte do contexto histográfico científico. Antes do surgimento das grandes revistas científicas, o cientista de posse de resultados novos e originais, tinha dificuldade em divulgar suas descobertas. O envio de correspondências comunicando os resultados descobertos, foi um importante meio de divulgação científica e muito usado na época.

          A partir de meados do Século XVII, com o surgimento das academias científicas e de revistas científicas, a divulgação ganhou novas proporções. O cientista passou a ter as sessões das academias como fórum de divulgação de suas descobertas, e as revistas como instrumento de difusão dos resultados. As principais revistas surgidas foram: Journal des sça vans, Paris, 1665; Philosophical transactions, Londres, 1665; Giornale de letterati, Roma 1668; Acta eruditorum lipsiensis, Leipzig, 1682; Mémoires de L’academie des sciences, Paris 1699; Miscellanea berolinensia, Berlim 1710; Commentari academiae scientiarum imperalis petropolitanae, St Petersburgo, 1728. Nelas foram publicados alguns dos mais importantes artigos científicos do período entre o final do século XVII e início do século XIX. Outro meio de divulgação de temas originais, se deu através de livros, e alguns casos, o reconhecimento dos resultados apresentados deu-se de imediato, como foi o de Isaac Newton em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado em 1687, e o Marquês de L’Hopital (1661-1704) em sua obra de maior importância, Analyse des infiniment petits, publicado em 1696.

          O matemático português José Anastácio da Cunha (1774-1787) porém não teve a mesma sorte que os colegas acadêmicos citados. Anastácio da Cunha também apresentou alguns resultados originais acerca da análise infinitesimal, em seu livro Princípios Mathemáticos, publicado em Lisboa em 1790, e entre os resultados apresentados estão os critérios de convergência de séries infinitas, batizados como critérios de Cauchy (1789-1857). Isto ocorreu por problemas relativos à pequena divulgação da obra nos meios acadêmicos europeu (Anastácio da Cunha, antecipou-se em pelo menos 30 anos à Cauchy).

Fonte: Revista Brasileira de História da Matemática, volume 5, número 9, 2005.

A evolução do limite matemático no tempo - 1

A ideia de limite já se fazia presente no axioma de Arquimedes que formava a base do método de exaustão dos gregos, o qual afirmava: “Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente subtrair-se não menos que a metade, e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie”. Por volta de 1671, Newton novamente usou a ideia de limite em seu Cálculo dos infinitésimos no estudo dos movimentos. Em 1821 Cauchy deu ao Cálculo elementar a forma que tem hoje, dando um caráter algébrico mais preciso, colocando uma definição relativamente precisa de limite, a saber: “quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a finalmente diferir deste de tão pouco quanto se queira, esse último chama-se o limite de todos os outros”, publicado em “Cours d’ Analyse de L’École Polytechnique”.

Heine, em 1872 influenciado por Weierstrass, definiu o limite da função f(x) em , como segue:

“Se dado qualquer existe um    tal que para 0 < n < a diferença é menor em valor absoluto que então L é o limite de f(x) em  ". 

Nessa definição fria e precisa, estão presentes os números reais, as operações de adição e subtração, e a relação menor que. Este simbolismo de Weierstrass e Heine marca a chegada do rigor matemático dessa ideia. Hoje o n de Weierstrass é frequentemente substituído pela letra grega (delta), e é conhecido como provas por épsilons e deltas.

Ressaltamos aqui que, este conceito é uma ponte entre a álgebra e a trigonometria com o Cálculo diferencial, além de ser a pedra fundamental onde se apoia a taxa de variação. Esta formalização de Heine resolve o problema da palavra proximidade que é um incômodo na definição intuitiva, pois, um engenheiro pode considerar uma medida boa para seus propósitos, quando estiver a m do objetivo, já um maratonista considera próximo de sua meta quando estiver a 100 m do ponto final.

A definição dos e abrange estas e outras situações de proximidade. Lembramos também que, este conceito é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do Cálculo estão baseados.

Para concluir, lembramos que para encontrar algebricamente limite de funções, no caso da reta, inclusive limites infinitos e no infinito   pode-se adotar a seguinte estratégia:

Primeiro passo: Estabelecer limites de algumas funções elementares (simples) através de sua continuidade, e quando for o caso reconhecer o comportamento assintótico e os limites no infinito;

Segundo passo: Estabelecer resultados teóricos para lidar com funções oriundas das elementares através das operações entre funções.

Fonte:

1) Boyer, Carl B. História da Matemática. Editora da USP
2) Anton, Howard . Cálculo um novo horizonte. v 1. Editora Bookman.

Problemas e Soluções- 23

Questão (Petrobras 2012): Qual é o valor da integral

 

a)           b)          c)          d) -18         e) 0

Solução:

 

é a área abaixo da curva   entre [-3,3]. A curva é    , circunferência centrada na origem de raio 3, a metade pois   . A área é

Assim a resposta é     o item c)
Lembrete: Se  em [a,b] , então     é a área delimitada pelo gráfico de f(x), as retas x=a e x=b, além do eixo x.
Nota: É possível resolver esta integral com a substituição   , mas o caminho é doloroso.