SOFTWARE LIVRE - WINPLOT E WINMAT

Disponibilização de softwares livres

Nos livros Matemática elementar para Universitários e  Matemática para tecnologia da Informação : uma dose na discreta e outra no contínuo, recomendamos os softwares WINPLOT(gráficos) e WINMAT(álgebra linear).Você poderá obtê-los gratuitamente clicando nos endereços abaixo:

WINPLOT : http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe

WINMAT : http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wmpr32z.exe

COMUNICADO - PONTOS DE VENDA DOS LIVROS

Os livros " MATEMÁTICA ELEMENTAR PARA UNIVERSITÁRIOS" e  "MATEMÁTICA PARA TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO : UMA DOSE NA DISCRETA E OUTRA NO CONTÍNUO", já se encontram a venda na :

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Atualização 01 - Matemática Elementar para Universitários

MATEMÁTICA ELEMENTAR PARA UNIVERSITÁRIOS – 1
Primeira edição

ATUALIZAÇÃO 01 - página 38 ( em vermelho)

MAIS UM LANÇAMENTO - MATEMÁTICA PARA TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO - UMA DOSE NA DISCRETA E OUTRA NO CONTÍNUO

MATEMÁTICA PARA TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO - UMA DOSE NA DISCRETA E OUTRA NO CONTÍNUO. 

LIVRO NA PRAÇA

Os professores responsáveis por este blog, escreveram um outro livro intitulado : Matemática para Tecnologia da Informação: Uma dose na discreta e outra no contínuo, que se encontra em processo gráfico final, através da Editora IFPB, com previsão de materialização a partir de janeiro de 2011.

Este volume procura, entre outros atributos, enfatizar os conceitos da Matemática e seu papel na Tecnologia da Informação tratando os tópicos de forma a exibir sua interdependência e organicidade,

Os tópicos abordados são : teoria dos conjuntos e linguagem de programação; sistemas numéricos computacionais; matrizes e criptografia; álgebra computacional, uma introdução aos grafos ; cálculo diferencial para uma e duas variáveis reais, além da abordagem computacional, colocamos sugestões e respostas dos exercícios propostos.

Os assuntos tratados no livro não exigem habilidades ou talentos especiais para aprendê-los, mas apenas dedicação.

Atualizações do livro serão postadas em forma de artigos/comunicados no blog http://www.matematicadainformacao.blogspot.com/

Contatos com através o e-mail : matematicadainformacao@gmail.com



LIVRO NOVO NA PRAÇA - MATEMÁTICA ELEMENTAR PARA UNIVERSITÁRIOS

MATEMÁTICA ELEMENTAR PARA UNIVERSITÁRIOS

A equipe responsável por este blog, publicou o livro Matemática Elementar para Universitários, pela Editora da UFPB ,  com previsão de comercialização, a partir de JANEIRO/2011

Este é o primeiro livro, de uma série didática, que tem sua abordagem focada nos conhecimentos iniciais da Matemática, e que funciona como um Pronto Socorro da Matemática, os assuntos contemplados abrange os conteúdos de: Operações com Frações; Números Decimais; Expressões Numéricas; Potenciação e Logaritmo; equações do Primeiro e Segundo Graus; Funções: Definição, Exemplos, Zeros e Representação Geométrica; Funções Básicas e seus Gráficos; Gráficos Computacionais – o WINPLOT; Médias: Aritmética, Ponderada e as Medidas de Posição, Moda e Mediana; Percentagem; Juros: Simples e Composto; Grandezas Escalares; Somatório e o Símbolo Sigma ( ∑ ), tratados em uma linguagem apropriada para universitários e candidatos a cursos superiores.

O livro apresenta uma orientação para quem vai fazer disciplinas de matemática em nível superior, incluindo  Estatística Aplicada e Matemática Financeira, servindo também para concurso em qualquer área do conhecimento que utiliza a Matemática Elementar.

O grupo que escreveu o conteúdo deste livro, tem mais de vinte anos atuando em ensino superior, e já vem preparando , um segundo volume, com outros tópicos referentes ao ensino do segundo grau.

Para aquisição do livro e mais informações, entre em contato conosco através do e-mail :

matematicadainformacao@gmail.com

VENDAS

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JOÃO PESSSOA - PB

Criptografia : Logaritmo discreto.

Criptografia : Logaritmo discreto

Um conceito importante em algoritmos de chave pública e assinatura digital são os logaritmos discretos.Seu entendimento no contexto, passam por conceitos básicos da teoria dos números que descrevemos a seguir.

• Dois números são relativamente primos se não tiverem fatores primos em comum, isto é, se seu máximo divisor comum for 1.

• A função de Euler, Φ (n) é definida como o número de inteiros positivos menores que n, que são relativamente primos com n. Por razões técnicas colocamos Φ(1) = 1.

Exemplos

a) Φ(89) = 88, pois 89 é primo e, consequentemente, os inteiros de 1 à 88 são relativamente primos com 89.

b) Φ(45) = 40, já que 1,2,4,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17,18,19,...,44 são os inteiros positivos menores que 45 que são relativamente primos com 45.

• Existe na literatura tabelas para esta função, e se p é primo, então Φ(p) = p-1

• Se p¹q são números primos, então Φ(pq) = Φ(p)Φ(q)=(p-1)(q-1) .

• 
  
  Teorema de Euler : Se t e n são números relativamente primos, então :

t^Φ(n) = 1 ( mod n)

• Considere a equação :

t^x = 1 ( mod n)

Se t e n são relativamente primos, já sabemos que, x = Φ(n) é solução da equação. O menor valor positivo de x, solução da equação é chamado de ordem de t (mod n) ou extensão do período gerado por t. Para um melhor entendimento deste conceito, veja o exemplo:

7¹ = 7 ( mod 19)

7² = 11 ( mod 19)

7³ = 1 ( mod 19)

7⁴ = 7 ( mod 19)

7⁵ = 11 ( mod 19)

7⁶ = 1 ( mod 19)

7⁷ = 7 ( mod 19)

Observamos que, a sequência é periódica de período 3, e neste caso x = 3 é o gerador.Considere agora o primo n = 13 e a tabela :

t1	t2	t3	t4	t7	t6	t7	t8	t9	t10	t11	t12
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	3	6	12	11	9	5	10	7	1
3	9	1	3	9	1	3	9	1	3	9	1
4	3	12	9	10	1	4	3	12	9	10	1
5	12	8	1	5	12	8	1	5	12	8	1
6	10	8	9	2	12	7	3	5	4	11	1
7	10	5	9	2	1	7	10	5	9	2	1
8	12	5	1	8	12	5	1	8	12	5	1
9	3	1	9	3	1	9	3	1	9	3	1
10	9	12	3	4	1	10	9	12	3	4	1
11	4	5	3	7	12	2	9	8	10	6	1
12	1	12	1	12	1	12	1	12	1	12	1

Por inspeção na tabela, nota-se que alguns valores de t, gera por otências o conjunto dos inteiros positivos diferente de zero mod 13. Cada um desses inteiros é chamado de raiz primitiva do mod 13. Para o caso, esses números são 2,4,6,10,11. Temos também que, se t é primitiva de n, então: 

t,t²,t³,...,t^Φ(n)

são relativamente primos com n. Em particular, se n = p, então :

t,t²,t³,...,t^p-1

são relativamente primos com p.

A Teoria dos números informa que, os inteiros que tem raízes primitivos são 2,4 e os da forma p^k e 2p^k onde p é primo maior que 2 e k inteiro positivo.

O Logaritmo discreto para números primos (interesse criptográfico)

Considere p primo e t uma raiz primitiva de p. As potências de t de 1 à p-1 tem como valores 1 até p - 1 exatamente uma vez, tomados módulo p. A aritmética modular nos informa que, dado um inteiro b,

b= s mod p, para 0 ≤ s  ≤  p -1

Assim, segue-se que para o um inteiro b e t uma raiz primitiva de p, existe um expoente i com 

1 ≤  i  ≤  p -1, tal que b = tⁱ mod p

definimos o logaritmo discreto de b na base t mod p, como sendo o número i e denota-se por

d log_t,p b = i

Existem outras notações para este conceito, e por inspeção na tabela mencionada neste texto,podemos escrever

d log_11,13 25 = 6

d log_2,13 14 = 12

Cálculo do logaritmo discreto

Este cálculo consiste em resolver o problema : " Dados os números b, t e p primo, encontrar x tal que ,       b = t^x mod p "

A dificuldade em resolver este equação para p primo com muitos digitos, apresentada por um algoritmo considerado rápido, é da ordem de :

exp[(ln p)^1/3(ln (ln p)^2/3]

o que torna-se inviável o tratamento computacional.

Lembre-se que, todo sistema criptográfico é baseado em um problema matemático que é intratável computacionalmente.

Fonte: STALLINGS, William. Criptografia e Segurança de Redes. São Paulo : Pearson Educations, 2008.

SOBRE A TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO

TI,ou Tecnologia da Informação, é um termo que surgiu no mercado para referenciar as soluções, equipamentos, infra-estrutura, softwares e atividades que manipulem informação apoiada por computadores. O termo TI, é cada vez mais comum, por exemplo na Contabilidade, em Recursos humanos,na Medicina e na área Governamental, entre outros segmentos. É fato que, profissionais com qualificação em informações apoiadas por computadores, estão compatíveis com as necessidades do mercado. Neste segmento, podemos citar os cursos de graduação em nível de bacharelato que o MEC reconhece,Ciências da Computação,Sistemas de Informação, Engenharia da Computação e Licenciatura em Computação, e cursos tecnológicos com menor duração, tais como Sistemas para Internet, Gestão da Tecnologia da Informação, Redes de Computadores, Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas.

Colaboração: Prof. MSc. Luiz Maurício Martins - UNIPÊ