O
desenvolvimento das equações diferenciais (E.D.) ordinárias e parciais está entrelaçado
com o da Matemática. Vamos traçar um perfil histórico deste desenvolvimento e
os personagens principais.
Tudo
começou com o inglês Isaac Newton (1642-1727) com suas descobertas no Cálculo
(derivada) e das leis fundamentais da Mecânica publicadas em 1687 no livro Philosophia Naturalis Principia Mathematica,
e com Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que chegou aos mesmos
resultados de Newton no Cálculo de forma independente após Newton, mais foi o
primeiro a publicá-los em 1684 na Acta Eruditorium espécie de periódico científico da época.
Newton classificou as E.D. ordinárias de primeira ordem em três grupos: as que se escrevem nas formas
e
onde
.
Para as da forma
quando
é um polinômio nas variáveis x e y, Newton desenvolveu
um método de como resolver a E.D. via séries infinitas. Já Leibniz descobriu o
método de separação de variáveis em 1691, a redução de equações homogêneas em
separáveis e em 1694 o procedimento de como resolver uma E.D. ordinária de
ordem linear.
Johannn
Bernoulli (1667-1748) e seu irmão Jakob (1654-1705) contribuíram no
desenvolvimento de resolução de E.D. e ampliaram o campo de aplicação em
Mecânica. Em 1694 Johannn Bernoulli resolveu a equação
, para
constante sendo que, na época não tinha ainda a
informação que
.
Daniel Bernoulli (1700-1782),
filho de Johannn Bernoulli, com interesse nas E.D. parciais e suas aplicações
tem seu nome associado à conhecida equação de Bernoulli da Mecânica dos fluidos
e foi o primeiro a encontrar as funções que hoje são conhecidas como funções de
Bessel.
Leonhard
Euler (1707-1783) aluno de Johannn Bernoulli e parceiro de Daniel Bernoulli foi
considerado o maior matemático do século XVIII. Tem contribuição em quase todas
as áreas da Matemática; identificou a condição de exatidão das E.D. ordinárias
de primeira ordem, contribuiu para a teoria dos fatores integrantes, apresentou
a solução geral das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes,
trabalhou com as equações não homogêneas, usou séries de potências para
resolver E.D. ordinárias, além de propor um método numérico para um problema de
valor inicial de primeira ordem e contribuições no estudo das E.D. Parciais.
Avançando
um pouco mais no tempo, nos deparamos com Joseph Louis Lagrange (1736-1813) que
obteve fama com a obra Mécanique Analytique publicada em 1788, e quanto às E.D.
mostrou que a solução de uma E.D. ordinária linear de ordem n é uma combinação
linear de n soluções independentes, publicou o desenvolvimento completo do
método da variação dos parâmetros e fez um tratamento fundamental nas E.D.
Parciais.
No período de 1749 á 1827, viveu
Pierre Simon de Laplace que marcou sua presença com a conhecida equação de
Laplace e com as transformadas de Laplace útil para encontrar a solução de E.D.
Ordinárias. No final do século XVIII outros métodos elementares para resolver
E.D. Ordinárias foram descobertas. Já no século XIX o interesse voltou-se para
as questões da existência e unicidade de Problema de Valor Inicial e para
métodos baseados em séries de potências, surgindo várias funções soluções de
E.D., tais como a de Bessel, Chebyshev, Legendre, Hermite e Hankel. Neste
período, as equações que não se resolviam por meios analíticos, levaram a
aprimorar e elaborar métodos numéricos para descrever a solução de forma
aproximada. A partir daí, o interesse voltou-se a compreensão qualitativa do
comportamento das soluções do ponto de vista geométrico e o uso de procedimentos
numéricos de E.D. e sistemas, não lineares.
Fontes:
1. Boyce,
William; Diprima, Richard: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno; Editora LTC
2. Boyer,
Carl B.; História da Matemática; Editora Edgard Blucher LTDA.
