MATEMÁTICA E AS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO: Somando Números Naturais

Somando Números Naturais

Nestas notas veremos como calcular as seguintes somas finitas

$\begin{array}{ccc} S_1 &=& 1+ 2 + \cdots + n \hspace{2.5 cm}(1)\\ S_2 &=& 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \hspace{2 cm}(2) \\ S_3 &=& 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 \hspace{2 cm}(3)\end{array}$

e vamos responder a seguinte questão: quem é maior,

$1^3+2^3+\cdots+n^3\,\, \text{ou}\,\,(1+ 2 + \cdots + n)^2?$

1. Somando Progressões Aritméticas

A soma(1) é bastante conhecida. Trata-se de uma progressão aritmética(pa) com n parcelas, cujo primeiro termo é igual a 1 e último termo n. Se usarmos a fórmula da soma de uma pa, encontramos :

$\begin{array}{ccc} 1+ 2 + \cdots + n &=& \dfrac{n(n+1)}{2}\hspace{2 cm}(4)\end{array}$

Este procedimento já não se aplica a soma S₂, pois não se trata de uma pa, como é simples verificar. Faremos uma demonstração de (4) de maneira que a técnica utilizada se aplique no cálculo das somas (2) e (3).

Inicialmente, calculamos ( n + 1)². Temos:

$\begin{array}{ccc} (n+1)^2 &=& n^2 + 2n + 1.\hspace{2 cm}(5)\end{array}$

A seguir, usando a caracterização (5), calculamos n², (n-1)², etc., até 2² . Obtemos a seguinte tabela:

$\begin{array}{ccccccc}(n+1)^2 &=& n^2 &+& 2n &+& 1\\(n)^2 &=& (n-1)^2 &+& 2(n-1) &+&1 \\(n-1)^2 &=& ( n-2)^2 &+& 2 (n-2) &+& 1 \\\vdots &=& \vdots &+& \vdots &+& \vdots \\2^2 &=& 1^2 &+& 2 \cdot 1 &+& 1 \\\end{array} \hspace{1 cm} (6)$

Observe que em (6) existem exatamente, $n$ linhas. Vamos somar, conjuntamente, essas $n$ linhas. Atente para o fato de que $n^2$ na primeira linha, vai ser cancelado com o termo n² da segunda linha, o termo (n-1)² na segunda linha vai ser cancelado com o termo (n-1)² na terceira linha, e assim por diante, resultando ,

$\begin{array}{ccccccc} (n+1)^2 &=& 1^2 + 2 [n+(n-1)+ \cdots + 1] & +& \overbrace{1+ 1+ \cdots + 1}^{n\,\,parcelas} \\ (n+1)^2 &=& 2S_1 + 1 + n & & & &\end{array}$

Daí, resulta:

$(n+1)^2 -(n+1) = 2S_1,$

ou seja:

$n(n+1) = 2S_1.$

Portanto :

$S_1= 1+ 2+\cdots =\dfrac{n(n+1)}{2} \hspace{3 cm} (7)$

2.Soma dos Quadrados dos n Primeiros Naturais

Agora, imitando os procedimentos da seção anterior, vamos calcular

$S_2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2.$

Inicialmente desenvolvemos o binômio ( n+1)³

$( n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1.$

Em seguida desenvolvemos,n³,(n-1)³, etc., até 2³, obtendo a seguinte tabela:

$\begin{array}{ccccccccc}(n+1)^3 &=& n^3 &+& 3n^2 & + & 3n &+& 1\\(n)^3 &=& (n-1)^3 &+& 3(n-1)^2 & + & 3(n-1) &+&1 \\(n-1)^3 &=& ( n-2)^3 &+& 3(n-2)^2 & + & 3(n-2) &+& 1 \\\vdots &=& \vdots &+& \vdots & + & \vdots &+& \vdots \\2^3 &=& 1^3 &+& 3 \cdot 1^2 & + & 3 \cdot 1 &+& 1 \\\end{array} \hspace{2 cm} (8).$

Tudo se passa como na seção anterior. Somamos as n linhas de cada tabela (8), e encontramos :

$\begin{array}{ccccc}(n+1)^3 &=& 1^3 + 3 [ n^2+(n-1)^2+ \cdots + 1^2] & + & \\ + 3 [n+(n-1)+ \cdots + 1] + \overbrace{1+ 1+ \cdots + 1}^{n\,\,parcelas} \\(n+1)^3&=& 1 + 3S_2 + 3S_1 + n & & \end{array}.$

Agora, usando a expressão para S₁, dada em (7), segue, da expressão acima, que

$\begin{array}{ccc}3S_2 &=& (n+1)^3 - (n+1) - 3\dfrac{n(n+1)}{2}\\ &=& (n+1)\left[(n+1)^2 - 1 - \dfrac{3n}{2}\right]\\ &=& (n+1)\left[n^2+2n-\dfrac{3n}{2}\right] \\ &=&\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}\end{array}.$

Portanto

$S_2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

3.Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais

Bem, chegou a hora de calcular a soma

$S_3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3.$

A fim de calcular esta soma, repetimos os procedimentos anteriores começando pelo desenvolvimento binomial (n+1)⁴. Lembre-se,

$(n+1)^4 = n^4 +4n^3 + 6n^2 + 4n +1.$

Os passos, são cópias do que foi feito nas seções anteriores. Deixamos a cargo do leitor o complemento da prova, até como desafio ao grau de aprendizagem de cada um. Apenas indicamos que :

$S_3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4} \hspace{3 cm}(9).$

Agora, estamos em condições de responder a questão proposta no início do artigo: quem é maior :

$1^3+2^3+\cdots+n^3\,\, \text{ou}\,\,(1+ 2 + \cdots + n)^2?$

A verdade é que,

$1^3+2^3+\cdots+n^3 = (1+ 2 + \cdots + n)^2.$

pois,

$\begin{array}{ccc}(1+ 2 + \cdots + n)^2 &=& S_1^2 \\&=& \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 \\&=& \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} \\&=& S_3 \\&=& 1^3+2^3+\cdots+n^3\end{array}.$