Problemas e Soluções 28

Questão (Mantenedores): Considere T, uma aplicação linear entre os espaços vetoriais reais V e W de dimensão finita. Então podemos afirmar que:

a) Se V e W tem mesma dimensão e dimensão do núcleo de T diferente de zero, então T é injetora;

b) Se T é injetora, então dimensão de V é igual à dimensão de W;

c) Se T é injetora e sobrejetora, então dimensão de V e W são iguais;

d) Aplicando T em cada elemento de uma base V, o conjunto imagem é uma base de W;

e) Todas as afirmações são falsas.

Solução

linear. Logo, dim (núcleo de T) + dim (Im T) = dim V
Se T é injetora, então núcleo de T = {0}
Não afirmamos, de forma geral que dim V = dim W. A resposta é c) pois dim Im T= dim W e dim núcleo de T=0.