Porque menos com menos dá mais

Os professores que trabalham  a Matemática do ensino superior, deparam-se com frequência em erros  de sinal, quando os alunos efetuam o produto de dois números negativos. É comum também entre os estudantes do ensino fundamental, questionar esta regra da Matemática, de que o produto de dois números negativos dá positivo, o famoso menos com menos dá mais.  Vamos apresentar um argumento, para esclarecer que, tecnicamente esta regra tem que ser  assim.  Para  fixar  idéias,  consideremos  o  caso (-3).(-5). 

Temos:

(-3).(-5)=(-1).3.(-1).5=(-1).(-1).3.5=(-1).(-1).15

O sinal será dado por (-1).(-1). Vamos analisar apenas o sinal.

Para isto, suponha   que  (-1)(-1)=-1.

Sabemos que  o valor da expressão  (-1).[1+(-1)] = (-1).0=0

Reescrevendo a expressão  (-1).[1+(-1)]=(-1).1+(-1).(-1)

Isto é,  (-1).0=-1+(-1)=-2

Levando a igualdade 0=-2

O   que é falso, devido ao   fato de     termos assumido que (-1).(-1)=-1. Por exclusão, (-1).(-1)=1, evitando absurdos.

         Pode-se generalizar este argumento, lembrando que um número negativo qualquer pode ser escrito na forma (-1)p, onde p é positivo.

         Uma prova:

         Sejam a e b números positivos e x dado por x=a.b+(-a).(-b)+(-a).b podemos escrever:

i)            x=a.b+(-a).[-b+b]=a.b+(-a).0=a.b

x=a.b+(-a).b+(-a).(-b)=

= [a-a].b+(-a)(-b)=

=0.b+(-a).(-b)=

=0 +(-a).(-b)=

=(-a).(-b)

Comparando-se i) e ii) segue-se que, (-a)(-b)=a.b, que é a nossa regra.

Em tempo: não confundir (-3)(-5)=15 com  -3 – 5 = -8