Porque menos com menos dá mais

Os professores que trabalham  a Matemática do ensino superior, deparam-se com frequência em erros  de sinal, quando os alunos efetuam o produto de dois números negativos. É comum também entre os estudantes do ensino fundamental, questionar esta regra da Matemática, de que o produto de dois números negativos dá positivo, o famoso menos com menos dá mais.  Vamos apresentar um argumento, para esclarecer que, tecnicamente esta regra tem que ser  assim.  Para  fixar  idéias,  consideremos  o  caso (-3).(-5). 

Temos:

(-3).(-5)=(-1).3.(-1).5=(-1).(-1).3.5=(-1).(-1).15

O sinal será dado por (-1).(-1). Vamos analisar apenas o sinal.

Para isto, suponha   que  (-1)(-1)=-1.

Sabemos que  o valor da expressão  (-1).[1+(-1)] = (-1).0=0

Reescrevendo a expressão  (-1).[1+(-1)]=(-1).1+(-1).(-1)

Isto é,  (-1).0=-1+(-1)=-2

Levando a igualdade 0=-2

O   que é falso, devido ao   fato de     termos assumido que (-1).(-1)=-1. Por exclusão, (-1).(-1)=1, evitando absurdos.

         Pode-se generalizar este argumento, lembrando que um número negativo qualquer pode ser escrito na forma (-1)p, onde p é positivo.

         Uma prova:

         Sejam a e b números positivos e x dado por x=a.b+(-a).(-b)+(-a).b podemos escrever:

i)            x=a.b+(-a).[-b+b]=a.b+(-a).0=a.b

x=a.b+(-a).b+(-a).(-b)=

= [a-a].b+(-a)(-b)=

=0.b+(-a).(-b)=

=0 +(-a).(-b)=

=(-a).(-b)

Comparando-se i) e ii) segue-se que, (-a)(-b)=a.b, que é a nossa regra.

Em tempo: não confundir (-3)(-5)=15 com  -3 – 5 = -8

A importância de um banco de dados

          Um grupo de pesquisadores espanhóis, da área de saúde, desenvolveu um mecanismo capaz de prever angina do peito, doença responsável por vários óbitos. Esta ferramenta, em seu desenvolvimento, teve a participação também de engenheiros eletrônicos. A equipe baseou-se em um banco de dados com mais de mil registros do Serviço de Cardiologia de um hospital espanhol, e propôs um modelo matemático compatível com o banco de dados, resultando que, em teste já realizado com pacientes, apresentou um alto grau de confiabilidade, superando amplamente os procedimentos clínicos padrões. Este modelo consegue prever se existe risco de angina do peito a partir do mapeamento das características da dor e dados do paciente. O sistema tem um interface web, de forma que, sua utilização pode ser feita a partir de qualquer urgência hospitalar que tenha acesso a internet.

          Tudo começou com um banco de dados.....

Fonte: Ciências Hoje- janeiro de 2012.

A Teoria da Relatividade e o cidadão comum

          Sem dúvida, as teorias que deram origem a eletricidade e a vacinação, contribuíram em muito para o bem estar do cidadão comum. A Teoria da Relatividade é o resultado mais badalado da Física do Século XX. Ela é bela e profunda no aspecto matemático, e fez de Einstein um ícone. Porém, além de mostrar a equivalência entre matéria e energia, o que abriu caminho para a invenção de armas de destruição em massa e uma tecnologia de energia que é amplamente usada em vários países, inclusive no Brasil, mas caiu em descrédito devido ao lixo tóxico produzido. Fora isto, a Teoria da Relatividade fez muito pouco pelas pessoas comuns.

         Já a Mecânica Quântica, entendimento mais profundo do életron e do fóton, mudou nossa vida talvez mais do que qualquer outro ramo da Física. Ela tem sido muito mais do que uma geradora de tecnologias; ela mudou e desafiou significativamente nosso entendimento da natureza da realidade. Vale também citar que, aparelhos eletrônicos para jogos, nanopartículas magnéticas biocompatíveis usadas na Medicina, partículas magnéticas porosas usadas na remoção de manchas de petróleo presentes na água, usam esta Teoria de forma fundamental.

Fonte: Como a Matemática explica o mundo; James D. Stein

Cuidados com a notação

          Aprendemos quando estudamos os números, que no cálculo de uma expressão numérica, a multiplicação e a divisão tem a mesma hierarquia, isto é, tanto uma como a outra pode ser feita por primeiro. Circula,  na internet, o problema que a expressão

                                                                      

pode ter como resultado 9, se primeiro fizermos a divisão e depois a multiplicação, e resultado 1 se primeiro fizermos a multiplicação e depois a divisão, o que contraria o princípio da unicidade para o valor de uma expressão numérica. Para evitar este problema, usamos os parênteses para indicar qual operação deve ser feita primeiro (de acordo com sua conveniência), e aí, temos valor único para a expressão .

Logo         e     

ERRATA Problemas e Soluções - 16

A função do Problemas e Soluções - 16 é  

 

Problemas e soluções - 19

Questão (Poscomp 2011): Em muitos problemas práticos deseja-se encontrar a reta   que melhor se ajusta a um conjunto  de ´pontos no plano. No método dos mínimos quadrados, os coeficientes a e b da reta são determinados de modo que o erro, dado pela soma do quadrado da diferença entre   e  , isto é:

seja o menor possível.

A tabela a seguir mostra o conjunto de pontos  no plano.

A reta que melhor se ajusta aos dados apresentados nessa tabela, no sentido dos mínimos quadrados é:



Solução: Para o caso

Logo,

          e         

Assim,      e       tem como soluções      e            cuja reta procurada é :

cuja solução é o item d).