Recado da Álgebra Linear

                Uma consequência do famoso teorema do núcleo e da imagem é assim enunciado: Sejam  V e W espaços vetoriais tais que dim V = dim W = n. Uma transformação

T: V →  W

É injetora se, e somente se, é sobrejetora (isomorfismo). Este resultado pode não ser verdadeiro para espaços vetoriais de dimensão infinita. Veja os exemplos V=W = ℝ^¥ é o conjunto de todas as sequências numéricas (x₁,x₂,x₃,...) munido das operações de soma e produto por escalar naturais.

Primeiro: T : ℝ^¥  →  ℝ^¥ definida por   T(x₁,x₂,x₃,...) = (0,x₁,x₂,x₃,...)é linear e injetora e não é sobrejetora pois (1,0,0,0,...)Î núcleo (T) e não a imagem;

Segundo: Defina T da forma T(x₁,x₂,x₃,...) = (x₂,x₃,x₄,...) é linear  sobrejetora, mas não injetora, já que T(0,0,0...)=(0,0,0,...) e T(1,0,0,0,...) = (0,0,0,0,...).

Fonte: Hoffman; Kennety and Kunze, Ray; Álgebra Linear