As Equações Diferenciais ao Longo do Tempo

                O desenvolvimento das equações diferenciais (E.D.) ordinárias e parciais está entrelaçado com o da Matemática. Vamos traçar um perfil histórico deste desenvolvimento e os personagens principais.

                Tudo começou com o inglês Isaac Newton (1642-1727) com suas descobertas no Cálculo (derivada) e das leis fundamentais da Mecânica publicadas em 1687 no livro Philosophia Naturalis Principia Mathematica, e com Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que chegou aos mesmos resultados de Newton no Cálculo de forma independente após Newton, mais foi o primeiro a publicá-los em 1684 na  Acta  Eruditorium  espécie de periódico científico da época. Newton classificou as E.D. ordinárias de primeira ordem em três grupos:  as que se escrevem nas formas

   e  onde .

Para as da forma  quando é um polinômio nas variáveis x e y, Newton desenvolveu um método de como resolver a E.D. via séries infinitas. Já Leibniz descobriu o método de separação de variáveis em 1691, a redução de equações homogêneas em separáveis e em 1694 o procedimento de como resolver uma E.D. ordinária de ordem linear.

                Johannn Bernoulli (1667-1748) e seu irmão Jakob (1654-1705) contribuíram no desenvolvimento de resolução de E.D. e ampliaram o campo de aplicação em Mecânica. Em 1694 Johannn Bernoulli resolveu a equação , para constante sendo que, na época não tinha ainda a informação que . 

Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johannn Bernoulli, com interesse nas E.D. parciais e suas aplicações tem seu nome associado à conhecida equação de Bernoulli da Mecânica dos fluidos e foi o primeiro a encontrar as funções que hoje são conhecidas como funções de Bessel.

                Leonhard Euler (1707-1783) aluno de Johannn Bernoulli e parceiro de Daniel Bernoulli foi considerado o maior matemático do século XVIII. Tem contribuição em quase todas as áreas da Matemática; identificou a condição de exatidão das E.D. ordinárias de primeira ordem, contribuiu para a teoria dos fatores integrantes, apresentou a solução geral das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, trabalhou com as equações não homogêneas, usou séries de potências para resolver E.D. ordinárias, além de propor um método numérico para um problema de valor inicial de primeira ordem e contribuições no estudo das E.D. Parciais.

                Avançando um pouco mais no tempo, nos deparamos com Joseph Louis Lagrange (1736-1813) que obteve fama com a obra Mécanique Analytique publicada em 1788, e quanto às E.D. mostrou que a solução de uma E.D. ordinária linear de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes, publicou o desenvolvimento completo do método da variação dos parâmetros e fez um tratamento fundamental nas E.D. Parciais.

No período de 1749 á 1827, viveu Pierre Simon de Laplace que marcou sua presença com a conhecida equação de Laplace e com as transformadas de Laplace útil para encontrar a solução de E.D. Ordinárias. No final do século XVIII outros métodos elementares para resolver E.D. Ordinárias foram descobertas. Já no século XIX o interesse voltou-se para as questões da existência e unicidade de Problema de Valor Inicial e para métodos baseados em séries de potências, surgindo várias funções soluções de E.D., tais como a de Bessel, Chebyshev, Legendre, Hermite e Hankel. Neste período, as equações que não se resolviam por meios analíticos, levaram a aprimorar e elaborar métodos numéricos para descrever a solução de forma aproximada. A partir daí, o interesse voltou-se a compreensão qualitativa do comportamento das soluções do ponto de vista geométrico e o uso de procedimentos numéricos de E.D. e sistemas, não lineares.

Fontes:

1.       Boyce, William; Diprima, Richard: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno; Editora LTC

2.       Boyer, Carl B.; História da Matemática; Editora Edgard Blucher LTDA.