Problemas e Soluções 29

Questão (Mantenedores):  Seja        uma aplicação linear do    em . Então podemos afirmar que:
a) O núcleo de T é o espaço gerado por (1,-1,1);
b) dimensão do núcleo de T é zero;
c) dimensão da imagem de T é 1
d) {T(1,0,0); T(0,1,0); T(0,0,1)} formam uma base do ;
e) todas as afirmações anteriores são falsas.

Solução
   cuja solução é

. Assim, núcleo de T é gerado por (1,-1,1) com dimensão 1.
Temos : dimensão da imagem de T + dimensão do núcleo de T=3.
Se dimensão do núcleo é zero  então dim Imagem de T=3 o que é absurdo;
Se dimensão da imagem de T é 1, então dimensão do núcleo de T igual a 2, o que é falso.
Temos também, em uma base do , tem 2 vetores. Assim, a resposta é a).

Lembrete: V e W espaços vetoriais de dimensão finita e  linear. Então dimensão de V=dimensão da Imagem de T+dimensão do núcleo de T.