MATEMÁTICA E AS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO: ENADE -01

segunda-feira, 29 de agosto de 2011

(ENADE) Qual é o resto divisão de $2^{234}$ por 23 ?
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 20

Solução :

$2^{234}=2^{4}2^{230}=16(2^{22})^{15}$

Mas,

$2^{22} = 4\times194\times 304 =1 \ mod \ 23$ ,

logo,

$2^{234}=16(1\ mod \ 23)^{15}=16(1^{15}\ mod \ 23) =$

$\ 16(1^{15}\ mod \ 23 )\ = \ 16\times 1\ mod \ 23 = 16 \ mod \ 23$

Assim, o resto é 16, logo a resposta é o item D da questão.

Lembrete :

$a,b \in \mathbb{Z}$
Se $a=b \ mod \ n$ , então

$a^{k}=b^{k} \ mod \ n, \forall \ k \in \mathbb{N}$

isto é,

$[b \ mod \ n]^{k}=b^{k} \ mod \ n, \forall \ k \in \mathbb{N}$

MATEMÁTICA E AS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO