A presença dos Métodos Numéricos na Computação

A história da computação envolvendo números é milenar. Iniciou com civilizações antigas, e teve um crescimento constante ao longo dos séculos. Até a descoberta dos logaritmos (Napier), os problemas que foram resolvidos apresentam hoje soluções simples a partir dos métodos analíticos, e dos recursos computacionais disponíveis.

Com a descoberta do Cálculo Diferencial e integral no final do século XVII, os cientistas passaram a ter novos instrumentos para calcular. O primeiro foi descoberto por BROOK TAYLOR e publicado em 1715. Este resultado é conhecido como Teorema de TAYLOR, o qual a firma que, muitas funções podem ser expandidas numa série infinita de potência da variável, isto é:
f(x + a)=f (a) + f'(a)x + f''(a)x²/2! + f'''(a)x³/3! + ... + fⁿ(a)xⁿ/n! + ...

Este teorema foi aperfeiçoado por J. L. Lagrange , H. Abel e A. L. Cauchy nos primeiros anos do século XIX, tornando-se base de um dos mais antigos métodos de aproximação.

Uma outra ferramenta matemática largamente utilizada em computação, é o cálculo de diferenças finitas,que iniciou-se com uma fórmula de interpolação desenvolvida independentemente por Newton e Gregory em 1670. Após a participação de Brook Taylor no desenvolvimento das diferenças finitas, esta foi amplamente estudado por Laplace e Lagrange, mas o primeiro artigo sobre o assunto foi feito por George Boole em 1860, e a partir daí, aperfeiçoado por outros. Tecnicamente a diferença finita baseia-se, no fato que se f é uma função contínua no intervalo a ≤ x ≤ b, derivável em a < x < b e se x≠x_o a diferença finita de primeira ordem de f, em relação a x em x_o , é definida como ( f(x) - f(x_o)) / (x - x_o). Note que esta expressão é uma aproximação para a primeira derivada de f em x_o. É natural a extensão do conceito para ordens superiores de derivação.

A maior parte das técnicas usadas em computação baseiam-se nas diferenças finitas. Como exemplo citamos o método de Dams -Bashford, o de Runge-Kutta e o de Milne, usados para encontrar a solução de uma equação diferencial ordinária. Existem outras técnicas analíticas, entre elas citamos: Séries de Fourier, Série de Laurent, Séries Assintóticas, prolongamento analítico.

Na falta de soluções analíticas para uma boa parte de problemas matemáticos, os métodos numéricos tem atuado de forma decisiva. Lembramos que, a essência dos métodos numéricos, está na discretização do contínuo, o que viabiliza usar os recursos computacionais. O crescente desenvolvimento dos computadores, tem favorecido em muito, a utilização destes métodos.