Equações Diferenciais: Evolução Histórica

O desenvolvimento das Equações Diferenciais (E.D.) está entrelaçado com o da Matemática e da Tecnologia. Vamos descrever na ordem cronológica os principais responsáveis por este ramo da Matemática.

Tudo começou com Newton (1642-1727) e  Leibniz (1646-1716) com suas descobertas no Cálculo e das leis fundamentais da Mecânica. Newton classificou as E.D. ordinárias de primeira ordem de acordo com as formas:

e para esta mais geral, desenvolveu um método de resolução através de séries infinitas para o caso de f(x,y) ser um polinômio nas variáveis x e y. Já Leibniz descobriu o método da separação de variáveis, a redução de equações homogêneas em separáveis, e o procedimento para resolver as E.D. lineares de primeira ordem.

                Os irmãos Jacob (1654-1705) e Johann (1667-1748) Bernoulli fizeram muitas contribuições de resolução de E.D. além de ampliar as aplicações deste ramo da Matemática em problemas da Mecânica. Daniel Bernoulli (1700-1782) tem contribuições nas E.D. parciais e suas respectivas aplicações, e tem seu nome associado a conhecida equação de Bernoulli da Mecânica dos Fluidos, e foi o primeiro a encontrar as famosas funções de Bessel.  Euler (1707-1783) identificou a condição de exatidão das E.D. de primeira ordem, desenvolveu a teoria dos fatores de integração, apresentou a solução geral das equações lineares com coeficientes constantes, passou a usar séries de potências para resolver E.D. e propôs um procedimento numérico Para encontrar uma solução aproximada para problemas de valor inicial de primeira ordem.

                Já  Lagrange (1736-1813) autor da obra Mécanique Analytique, mostrou que a solução de uma E.D. homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes, fez o desenvolvimento completo do método da variação de parâmetros e um tratado fundamental nas E.D. parciais. Laplace (1749-1827) foi responsável pela chamada equação de Laplace e da transformada integral que leva seu nome, usada mais tarde na resolução de E.D..

                No fim do Século XVIII vários outros métodos elementares para a solução de E.D. ordinárias foram descobertas. No Século XIX, o interesse voltou-se para as questões teóricas voltadas à existência e unicidade de solução, e o desenvolvimento de métodos menos elementares, como os baseados em expansões em séries de potências. As E.D. parciais começaram a ganhar força devido ao seu papel para a Física Matemática. Surge também as funções de Hermite, Legendre, Bessel e outras como soluções de E.D. ordinárias, bem como métodos numéricos bem eficientes para a determinação de solução aproximada, o que ganhou força com o avanço do desenvolvimento dos computadores. Ainda no Século XX, foi criado métodos geométricos ou topológicos com o intuito de compreender qualitativamente o comportamento das soluções especialmente das equações não lineares.

                Nos últimos anos houve uma convergência dos métodos citados anteriormente, proporcionando um novo impulso a este estudo surgindo conceitos como atratores estranhos, caos e fractais. Ressalta-se também o avanço do sistema computacional proporcionando a solução aproximada com muita precisão através de métodos numéricos de muitas equações não lineares.

Fonte:

1.       História da Matemática; Carl B. Boyer

2.       Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno; William E. Boyce e Richard C. DiPrima

Para o Pessoal da Academia: Débito de Oxigênio

            Quando você em repouso sai deste estado e passa a exercitar-se vigorosamente, a necessidade de consumo do oxigênio pelo seu organismo. chega a um nível de 10 a 15 vezes mais alto que o nível inicial (em repouso). O trabalho mecânico decorrente de uma atividade física pode aumentar instantaneamente, porém o consumo de oxigênio cresce apenas de forma gradativa, atingindo seu estado de equilíbrio somente dentro de alguns minutos, devido a ajustes fisiológicos. Entretanto, quando você interrompe os exercícios, embora as necessidades energéticas sejam bem menores, o consumo de oxigênio permanece relativamente alto durante um certo período, variando de acordo com o esforço despendido, sua duração e nível de sua aptidão física. Este oxigênio consumido acima do nível de repouso, durante a fase de recuperação é conhecido como débito de oxigênio. Este oxigênio é usado para fornecimento da energia depletada, com o objetivo de restabelecer o nível antes dos exercícios. Lembre, entrre todos os nutrientes que os organismos aeróbicos necessitam, o mais crucial à vida é o oxigênio.

Fonte: Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas; Airton Fontenelle (UFC) e outros; Editora Harbra.

“Qualquer caminho serve quando você não sabe para onde está indo” Lewis Carrol.

A Respiração na Altitude

A Respiração na Altitude

                Em partidas de futebol dos Campeonatos Libertadores das Américas e Copa Sul-Americana, ouve-se falar que jogos em altitude elevada, como em La Paz (Bolívia), a respiração fica comprometida, dizem que é porque o ar é rarefeito, dificultando o desempenho dos atletas que estão acostumados a baixas altitudes. Vamos a explicação científica deste fato:

                O ar atmosférico tem a seguinte concentração em sua composição (valores aproximados): 79.01% de nitrogênio, 20.95% de oxigênio, 0.04% de dióxido de carbono e outros gases como hélio, hidrogênio e outros, além de uma concentração variável de vapor de água, a qual caracteriza a chamada umidade do ar. Sabe-se também que esta concentração pose ser considerada a mesma desde o nível do mar até aproximadamente 30.000 metros de altitude, assim, por exemplo, em La Paz a percentagem de oxigênio é a mesma que no Rio de Janeiro.

                O que de fato dificulta a respiração em altitude elevada?

                A pressão  atmosférica do ar diminui se aumentamos a altitude. O aproveitamento do oxigênio durante a respiração depende da pressão do ar que chega aos pulmões, o qual passa a ter importância na fisiologia da respiração. A pressão atmosférica pode ser expressa matematicamente da forma

p=760 x (0.885)^h/1000 torr

onde p é a pressão, h é a altura em relação ao nível do mar, medida em metros e torr é a unidade de medida,  Torricelli. Assim, ao nível do mar, h=0 e a pressão é de 760 torr; a 1000 metros de altura a pressão é de 672.6 torr, a 2000 metros e de 595.25 torr, de forma que,  é a queda da pressão atmosférica que dificulta a respiração dos atletas em jogos em altitude elevada.

Fonte: Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas: Airton Fontenelle (UFC) e outros; Editora Harbra.

“O único lugar aonde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário” Einstein

Ciências Médicas e Biológicas e a Matemática

                Durante muito tempo a Matemática e a Física (pilares da Engenharia), caminharam juntas com benefícios mútuos. Mais recentemente (com relação à Física), conquistas de vários ramos da Engenharia foram viabilizadas após o uso de técnicas matemáticas no problema matematizado.

                Já na Medicina a viabilidade do tratamento matemático em seus problemas são postos em dúvida e criticados, com o argumento que os processos biológicos são amplos e mudam constantemente, tornando a Matemática inadequada e muitas vezes impossível. Por outro lado, é visível que o avanço científico é lento, se conduzido em grande parte em termos intuitivos e, expostos na linguagem usual, de forma que os problemas precisam ter suas variáveis identificadas e relacionadas de modo lógico para que a matematização seja viável e que ferramentas matemáticas pertinentes possam apoiar na solução rápida do problema.

                Atualmente, as técnicas e métodos para compreensão e análise da variabilidade biológica estão ao alcance da Probabilidade e Estatística no qual apoiado por computadores, processam grande quantidade de dados e variáveis mostrando relações possíveis entre elas. Lembre que após a matematização do problema, você seguirá as leis do pensamento matemático colaborando assim com a solução, sugerindo ao pesquisador roteiros de como chegar ao objetivo.

Fonte: Cálculo Para Ciências Médicas e Biológicas: Airton Fontenelle (UFC) e outros; Editora Harbra.

“ Tomando a Matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade” Leibniz

                 

Invenções Nacionais Que Ganham o Mundo

                A mais famosa foi apresentada por Santos Dumont em 1906, quando este inventor brasileiro decolou com seu modelo 14-BIS, nos arredores de Paris (França) percorrendo no ar por volta de 220 metros de distância, independente de qualquer outro recurso. Este evento foi presenciado por várias pessoas, o que o credenciou como inventor desta preciosidade.

                Uma segunda é o copo americano criado em 1949 pelo designer Nadir Figueiredo. Este produto é bastante popular no Brasil e é também comercializado em outros países, principalmente nos Estados Unidos com sucesso.

 No ano 2000, o veterinário Rosalvo Guidolin  (brasileiro) apresentou sua invenção: o soro antiofídico em pó. Este soro, ao contrário do líquido que precisa ser conservado a uma temperatura entre 4^o C e 8⁰ C, não passa por este rigor no seu manuseio. Além de ter um prazo de validade maior, este invento permite  que o homem que trabalha no campo, militares que se embrenham em florestas e aqueles que gostam de aventura, levem em sua mochila este soro para sua proteção.

Para encerrar o coletor eletrônico de votos conhecido como Urna Eletrônica é também invenção de brasileiro. Esse aparelho eletrônico além de agilizar o processo de votação, também contabiliza os votos de imediato após encerrar a votação. Esse invento é de autoria do juiz eleitoral de Santa Catarina, Carlos Prudêncio e seu irmão (empresário em informática), e foi colocado em teste em 1989. Podemos afirmar que, o Brasil tem o sistema de eleição mais moderno e sigiloso comparado a outros países, graças às Urnas Eletrônicas. Usando estas urnas citamos o Equador, Paraguai, México e vários outros  já demonstraram interesse neste sistema.

Dom Pedro II e Graham Bell

                Um fato curioso. É conhecido que o norte-americano Graham Bell inventou o telefone. Este invento foi apresentado pela primeira vez em uma Exposição na Filadélfia em 1876, mas os julgadores do evento (juízes) não deram importância ao aparelho  telefônico apresentado por este brilhante inventor.

                Nesta época, Dom Pedro II, Imperador do Brasil em visita aos Estados Unidos da América, foi a esta Exposição e ao se deparar com o dito aparelho, e ouvir a voz de Graham Bell através do aparelho, exclamou: "Meu Deus, isto fala!”  o que provocou um tumulto no Salão de Exposição, chamando a atenção dos juízes. A partir daí, esta invenção ganhou o mundo.

Fonte: Revista de História da Biblioteca Nacional; Outubro 2010

A Equação Diferencial Ordinária Manda Recado

                O recado aqui vai relacionado ao  famoso Teorema de Existência e Unicidade voltado aos problemas de Valor Inicial de primeira ordem, assim enunciado: “Seja W uma região retangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém o ponto (x₀,y₀) em seu interior. Se f(x,y) e f_y são contínuas em W, então existe um intervalo centrado em x₀ ,              x₀-h < x <  x₀+h e uma única função y(x) definida neste intervalo solução do P.V.I.              [dy/dx] = f(x,y)  e  y(x₀) = y₀ onde x₀ e y₀ são valores dados.”

Recado – 1: A conclusão deste teorema continua válida se a condição de f_y contínua  for substituída por uma condição mais fraca; mas a existência de solução (mas não a unicidade) só ocorre com a continuidade de  f(x,y).

Recado – 2: É comum no pessoal da tecnologia que modelam seus problemas através da Matemática, utilizar as E.D.O. e principalmente os P.V.I. de primeira ordem para descrever matematicamente seus modelos técnicos. As respostas que buscam em seu modelo estão na solução do P.V.I., e em geral a E.D.O. possue  um alto grau de não linearidade e que dificulta a encontrar a solução, passando então aos métodos numéricos para encontrar uma solução aproximada. A certeza de que o P.V.I. têm uma única solução evita possíveis flutuações dos métodos numéricos o que inviabiliza encontrar o desejado.

Fonte: Boyce; Diprima; E.D. Elementares e Problemas de Valores de Contorno.